詳解樹形DP
前言
給定一顆有N個節點的樹(一般是無根樹,就有N-1條無向邊),可以任選一個節點作為根節點
一般以節點從深到淺(子樹從小到大)的順序作為dp階段順序
dp的狀態表示中,第一維通常是節點編號(節點編號代表瞭以該節點為根的子樹)
對於每個節點x,先遞歸在它的每個子節點上進行dp,回溯時,從子節點向x進行狀態轉移
A – Anniversary part
N個員工,編號為1~N
他們之間有從屬關系,也就是說他們的關系就像一棵以校長為根的樹,父結點就是子結點的直屬上司。現在有個宴會,宴會每邀請來一個員工 i 都會增加一定的快樂指數 Ri,但如果某個員工的直屬上司來瞭,那麼這個員工就不會來。計算邀請哪些員工可以使快樂指數最大,輸出最大的快樂指數
設 dp [x] [0] 表示在 x 為根的子樹中邀請部分員工,並且 x 不參加時,快樂指數總和的最大值,此時 x 子節點(直接下屬)可以參加也可以不參加 (s表示x子節點)
設 dp [x] [1] 表示在 x 為根的子樹中邀請部分員工,並且 x 參加時,快樂指數總和的最大值,此時 x 子節點(直接下屬)都不能參加,H[x] 表示當前節點(x)的快樂指數 (s表示x子節點)
這個題給的是有根樹,就可以從根節點開始,dp目標就是 max(F[root,0] , F[root,1]) 時間復雜度ON
#include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <vector> using namespace std; vector<int> son[10010]; int dp[10010][2];//0不參加,1參加 int v[10010];//記錄有沒有父節點 int h[10010];//記錄快樂指數 int n; void DFS(int x){ dp[x][0] = 0; dp[x][1] = h[x]; for (int i = 0; i < son[x].size(); i++) { int y = son[x][i]; DP(y); dp[x][0] += max(dp[y][0],dp[y][1]); dp[x][1] += dp[y][0]; } } int main(){ cin>>n; for (int i = 1; i <=n ; i++) scanf("%d",&h[i]); for (int i = 1; i <n ; i++) { int x,y; cin>>x>>y; v[x] = 1;//x有爸爸 son[y].push_back(x);//x是y的子節點 } int root; for (int i = 1; i <= n; i++) if(!v[i]){ //i沒有爸爸 root = i; break; } DFS(root); cout << max(dp[root][0],dp[root][1]) << endl; return 0; }
B – Strategic game
有n個點,在某些點上放置哨兵,每個哨兵可以監控和它有邊相連的點,問監視所有的點需要的最少的哨兵數
也就是說一顆n個結點的樹,要求選出其中的一些頂點,使得對於樹中的每條邊(u, v),u和v至少有一個被選中,要求給出選中頂點數最少的方案
設 dp [x] [0] 表示在不選擇節點 x 的情況下,以 x 為根節點的子樹,最少需要選擇的節點數
當i為葉子節點時
當i不為葉子節點時 (s表示x子節點)
設 dp [x] [1] 表示在選擇節點 x 的情況下,以 x 為根節點的子樹,最少需要選擇的節點數
當i為葉子節點時
當i不為葉子節點時 (s表示x子節點)
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #include <cmath> #define maxn 1508 using namespace std; int dp[maxn][2]; int soncnt[maxn]; int parent[maxn]; int n; void DFS(int x) { int i, d1=0, d0=0; if (soncnt[x] == 0) { dp[x][0] = 0; dp[x][1] = 1; return; } for (i=0; i < n; i++) { if (parent[i] == x) { DFS(i); d1 += min(dp[i][0], dp[i][1]); d0 += dp[i][1]; } } dp[x][1] = d1 + 1; dp[x][0] = d0; } int main() { int dad, son, m; while (cin >> n) { memset(soncnt, 0, sizeof(soncnt)); memset(parent, -1, sizeof(parent)); int root = -1; for (int i = 0; i < n; i++) { scanf("%d:(%d)", &dad, &m); soncnt[dad] = m; if (root == -1) { root = dad; } while (m--) { scanf("%d", &son); parent[son] = dad; } } DFS(root); cout << min(dp[root][0], dp[root][1]) << endl; } return 0; }
C – Tree Cutting
給一顆n個結點的樹,節點編號為1~n
問:刪除哪些結點後,剩餘各個子樹的大小均小於原總結點數的一半
拆除一個節點後,剩餘部分為其若幹兒子的子樹以及該節點上層所連其餘部分(n-size[i]),隻要這些連接塊大小都不超過n/2,該節點就滿足條件。因而我們可以先求出每個節點所管轄的那棵樹的大小,自下而上地為每個節點求出其子樹規模(該點規模=其兒子的規模和+1)。
在建樹的時候可以直接用連接表(vector)儲存無向邊,這時由於無法區分與每個點相連的是其父節點還是子節點,會引發問題:在dfs的時候把父節點誤認作兒子節點,解決方法就是在遞歸的時候傳入父節點編號,然後在遞歸,計算規模,比較大小的時候避開它就可以瞭
#include<iostream> #include<cstring> #include<vector> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; int n; int root; vector<int>G[10000+400]; vector<int>ans; int sz[10000+400]; void dfs(int par,int u){ sz[u]=1; for(int i=0;i<(int)G[u].size();i++){ if(G[u][i]!=par) dfs(u,G[u][i]); } int piece=0; for(int i=0;i<(int)G[u].size();i++) if(par!=G[u][i]){ sz[u]+=sz[G[u][i]]; piece=max(piece,sz[G[u][i]]); } piece=max(piece,n-sz[u]); if(piece<=n/2) ans.push_back(u); } int main(){ while(cin>>n){ memset(sz,0,sizeof(sz)); int x,y; for(int i=0;i<n-1;i++){ scanf("%d%d",&x,&y); G[x].push_back(y); G[y].push_back(x); } dfs(0,1); sort(ans.begin(),ans.end()); for(int i=0;i<(int)ans.size();i++) cout<<ans[i]<<endl; } return 0; }
LCA 最近公共祖先
倍增(基於二分的方法)
假如樹上的兩個點,處於同一深度時,對於往上跳mid步,顯然有單調性:
如果它們往上跳mid步是同一個點,則這個點是它們的共同祖先,但不一定是最近公共祖先
那麼如果我們可以快速得到每個點往上跳若幹步是誰,顯然我們可以利用二分來求LCA
這個可以用倍增來做。
倍增的思想其實非常簡單,就是利用二進制的思想。一個顯然的結論有:
節點u往上跳2^(k+1)的佈的祖先 = (節點u往上跳2k佈的祖先)往上跳2k佈的祖先
用代碼表示就是:
fa[u][k + 1] = fa[ fa[u][k] ][k];
這個的預處理也非常簡單,我們隻需要初始化每個fa[u][0]就可以瞭就可以瞭,因為接下來的部分都可以根據上面的公式遞推。
然後預處理好這個之後,我們就可以根據這個進行二分瞭,代碼如下:
int fa[maxn][20], dep[maxn]; void dfs(int u, int f, int d) { dep[u] = d; fa[u][0] = f; for(int i = 1; i < 20; ++i) { fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i] - 1; } for(int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) { int t = to[i]; if(t != f) { dfs(t, u, d + 1); } } } int lca(int u, int v) { if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v); int k = dep[u] - dep[v]; for(int i = 0; i < k; ++i) { if((1 << i) & k) u = fa[u][i]; } if(u == v) return u; for(int i = 19; i >= 0; --i) { if(fa[u][i] != fa[v][i]) { u = fa[u][i]; v = fa[v][i]; } } return fa[u][0]; }
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