你知道怎麼改進Python 二分法和牛頓迭代法求算術平方根嗎

Posted on by

二分法

def sqrtb(n):
    if n<0: raise ValueError('n>=0')
    left,right,x=0,n,n/2
    while not -1e-15<x*x-n<1e-15:
        if x*x>n:
            right,x = x,left+(x-left)/2
        else:
            left,x = x,right-(right-x)/2
    return x

求最接近算術平方根的整數

def sqrtB(x):
    if x==0: return 0
    #y,x=x,round(x)
    left,right,ret = 1,x,0
    while left<=right:
        mid = left + (right-left)//2
        if mid<x/mid:
            left = mid+1
            ret = mid
        elif mid==x/mid:
            ret = mid
            break
        else:
            right = mid-1
    return ret

>>> sqrtB(9)
3
>>> sqrtB(8)
2
>>> sqrtB(9.2)
3.0
>>> sqrtB(7.8)
2.0
>>> sqrtB(4)
2
>>>

二分法原理

牛頓迭代法

def sqrtn(n):
    if n<0: raise ValueError('n>=0')
    x = n/2
    while not -1e-15<x*x-n<1e-15:
        x = (x+n/x)/2
    return x

一點小改進：不用1e-15來比較

def sqrt2(n):
    x = n
    while x*x>n:
        x = (x+n/x)/2
    return x

缺點：碰到n=7,13,…等，會進入死循環

增加判斷跳出循環：

def sqrt(n):
    x = n
    while x*x>n:
        y,x = x,(x+n/x)/2
        if y==x: break
    return x

# sqrt(n) n=1~25的精度測試：

0.0
-2.220446049250313e-16
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
-4.440892098500626e-16
0.0
-4.440892098500626e-16
0.0
0.0
4.440892098500626e-16
0.0
0.0
0.0
0.0
8.881784197001252e-16
-8.881784197001252e-16
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
>>>

牛頓迭代法原理

從函數意義上理解：要求函數f(x)=x²，使f(x)=num的近似解，即x²-num=0的近似解。

從幾何意義上理解：要求拋物線g(x)=x²-num與x軸交點（g(x)=0）最接近的點。

假設g(x0)=0，即x0是正解，讓近似解x不斷逼近x0，x0 ~ x – f(x)/f'(x)

def cubeN(n):
    x,y = n/3,0
    while not -1e-15<x-y<1e-15:
        y,x = x,(2/3)*x+n/(3*x*x)
    return x
'''
>>> cubeN(27)
3.0
>>> cubeN(9)
2.080083823051904
>>>
'''

總結

本片文章就到這裡瞭，希望能夠給你帶來幫助，也希望您能夠多多關註WalkonNet的更多內容！

推薦閱讀：