Python 經典貪心算法之Prim算法案例詳解

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最小生成樹的Prim算法也是貪心算法的一大經典應用。Prim算法的特點是時刻維護一棵樹，算法不斷加邊，加的過程始終是一棵樹。

Prim算法過程：
一條邊一條邊地加， 維護一棵樹。
初始 E ＝ ｛｝空集合， V = ｛任選的一個起始節點｝
循環（n – 1）次，每次選擇一條邊（v1,v2）， 滿足：v1屬於V , v2不屬於V。且（v1,v2）權值最小。
E = E + （v1,v2）
V = V + v2
最終E中的邊是一棵最小生成樹， V包含瞭全部節點。
以下圖為例介紹Prim算法的執行過程。

Prim算法的過程從A開始 V = {A}, E = {}

選中邊AF , V = {A, F}, E = {(A,F)} 

選中邊FB, V = {A, F, B}, E = {(A,F), (F,B)}

選中邊BD, V = {A, B, F, D},   E = {(A,F), (F,B), (B,D)}

選中邊DE, V = {A, B, F, D, E},   E = {(A,F), (F,B), (B,D), (D,E)}

選中邊BC, V = {A, B, F, D, E, c},   E = {(A,F), (F,B), (B,D), (D,E), (B,C)}, 算法結束。

Prim算法的證明：假設Prim算法得到一棵樹P，有一棵最小生成樹T。假設P和T不同，我們假設Prim算法進行到第(K – 1)步時選擇的邊都在T中，這時Prim算法的樹是P’, 第K步時,Prim算法選擇瞭一條邊e = (u, v)不在T中。假設u在P’中，而v不在。
因為T是樹，所以T中必然有一條u到v的路徑，我們考慮這條路徑上第一個點u在P’中，最後一個點v不在P’中，則路徑上一定有一條邊f = (x,y)，x在P’中，而且y不在P’中。
我們考慮f和e的邊權w(f)與w(e)的關系： 若w(f) > w(e)，在T中用e換掉f （T中加上e去掉f)，得到一個權值和更小的生成樹，與T是最小生成樹矛盾。
若w(f) < w(e), Prim算法在第K步時應該考慮加邊f，而不是e,矛盾。
因此隻有w(f) = w(e),我們在T中用e換掉f，這樣Prim算法在前K步選擇的邊在T中瞭，有限步之後把T變成P,而樹權值和不變， 從而Prim算法是正確的。
請仔細理解Prim算法——時刻維護一棵生成樹。我們的證明構造性地證明瞭所有地最小生成樹地邊權（多重）集合都相同！
N個點M條邊的無向連通圖，每條邊有一個權值，求該圖的最小生成樹。

最後，我們來提供輸入輸出數據，由你來寫一段程序，實現這個算法，隻有寫出瞭正確的程序，才能繼續後面的課程。

輸入
第1行：2個數N,M中間用空格分隔，N為點的數量，M為邊的數量。（2 <= N <= 1000, 1 <= M <= 50000)
第2 - M + 1行：每行3個數S E W，分別表示M條邊的2個頂點及權值。(1 <= S, E <= N，1 <= W <= 10000)
輸出

輸出最小生成樹的所有邊的權值之和。

輸入示例

9 14
1 2 4
2 3 8
3 4 7
4 5 9
5 6 10
6 7 2
7 8 1
8 9 7
2 8 11
3 9 2
7 9 6
3 6 4
4 6 14
1 8 8

輸出示例

37

maxv=10001
n,m=list(map(int,input().split()))
E=[]
V=set([1])
cost=[]
for i in range(n+1):
    a=[]
    for j in range(n+1):
        a.append(maxv)
    cost.append(a)
for i in range(m):
    s,e,w=list(map(int,input().split()))
    cost[s][e]=w
    cost[e][s]=w
closet=[0]
lowcost=[maxv]
for i in range(1,n+1):
    closet.append(1)
    lowcost.append(cost[1][i])
ans=0
for i in range(n-1):
    k=0
    for j in range(2,n+1):
        if (lowcost[j]!=0) and (lowcost[j]<lowcost[k]):k=j

    for j in range(2,n+1):
        if cost[j][k]<lowcost[j]:
            lowcost[j]=cost[j][k]
            closet[j]=k
    ans+=lowcost[k]
    lowcost[k]=0
print(ans)

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