python繪制超炫酷動態Julia集示例

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前言

此Julia非彼Julia，指的是對於某復數 c c c，使得迭代式 f ( z ) = z 2 + c f(z)=z^2+c f(z)=z2+c收斂的復數 z z z的集合。例如，當 c = 0 c=0 c=0時，那麼其收斂區間為 z 2 < 1 z^2<1 z2<1的單位圓，對應的 c c c的Julia集便是 cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ \cos\theta+i\sin\theta cosθ+isinθ。

Mandelbrot集

特別地，當 c = z c=z c=z的初始值時，符合收斂條件的 z z z的便構成大名鼎鼎的Mandelbrot集

在這裡插入圖片描述

在上圖中，顏色表示該點的發散速度，可以理解為開始發散時迭代的次數。其生成代碼也非常簡單，唯一需要註意的是，由於使用瞭大量的矩陣運算，故使用瞭cupy，如果電腦沒裝cuda，隻需將所有的cp改為np即可。

# 這些代碼會在後面的程序中反復調用，不再說明
import numpy as np
import time
import matplotlib.pyplot as plt
import cupy as cp

#生成z坐標 x0,y0 為起始點， nx,ny為點數， delta為點距
def genZ(x0, y0, nx, ny, delta):
    real, img = cp.indices([nx,ny])*delta
    real += x0
    img += y0
    return real.T+img.T*1j

#獲取Julia集，n為迭代次數，m為判定發散點，大於1即可
def getJulia(z,c,n,m=2):
    t = time.time()
    z,out = z*1, cp.abs(z)
    c = cp.zeros_like(z)+c
    for i in range(n):
        absz = cp.abs(z)
        z[absz>m]=0		#對開始發散的點置零
        c[absz>m]=0		
        out[absz>m]=i	#記錄發散點的發散速度
        z = z*z + c
    print("time:",time.time()-t)
    return out

z1 = genZ(-2,-1.5,1000,1000,0.003)
mBrot = getJulia(z1,z1,50)
plt.imshow(mBrot.get(), cmap=plt.cm.jet)
plt.show()

如果對其生成過程感興趣，那麼可以觀察一下隨著迭代次數的增加，圖像的變化情況

在這裡插入圖片描述

代碼如下。

from matplotlib import animation

fig = plt.figure()
fig.subplots_adjust(top=1, bottom=0, left=0, right=1)
ax = plt.subplot()

def getJulias(z,c,n,m=2):
    z,out = z*1, cp.abs(z)
    c = cp.zeros_like(z)+c
    J = []
    for i in range(n):
        z = z*z + c
        absz = cp.abs(z)
        z[absz>m]=0		#對開始發散的點置零
        c[absz>m]=0		
        out[absz>m]=i	#記錄發散點的發散速度
        im = ax.imshow(out.get(),cmap=plt.cm.jet, animated=True)
        ax.set_axis_off()
        J.append([im])
    return J

N = 75     #迭代次數
z1 = genZ(-2,-1.5,1000,1000,0.003)
J = getJulias(z1,z1,N)

ani = animation.ArtistAnimation(fig, J, interval=50, blit=True,repeat_delay=1000)
plt.show()
ani.save('julias.gif',writer='imagemagick')

無限縮放

Mandelbrot集的分形特征意味著我們所生成的圖片可以無限放大，但是受到柵格化尺寸的影響，手動的放大並不會更改其真實尺寸，

為瞭照顧觀感，將縮放中心作為圖像的中心，所以對genZ函數進行修改。如果選取(-0.75,-0.2)作為縮放中心，則其變化如下

在這裡插入圖片描述

代碼為

from matplotlib import animation

# 生成z坐標 xy=np.array([xc,yc]) 為起始點，
# nxy=np.array([nx,ny])為點數， delta為點距
def genZbyCenter(xy,nxy,delta):
    x0, y0 = xy-np.array(nxy)*delta/2
    return genZ(x0,y0,*nxy,delta)

mBrots = []
xy = [-0.75,-0.2]
nxy = [1000,1000]
delta0 = 0.003  #初始寬度

fig = plt.figure()
fig.subplots_adjust(top=1, bottom=0, left=0, right=1)
ax = plt.subplot()

for n in range(50):
    z1 = genZbyCenter(xy,nxy,1.1**(-n)*delta0)
    out = getJulia(z1,z1,40)
    im = ax.imshow(out.get(),cmap=plt.cm.jet, animated=True)
    ax.set_axis_off()
    mBrots.append([im])

ani = animation.ArtistAnimation(fig, mBrots, interval=50, blit=True)
plt.show()
ani.save('zoom.gif',writer='imagemagick')

Julia集

如果更改c的值，那麼就能得到一個變化著的Julia集，例如，下面選取一條直線

y = x y=x y=x

上面的Julia集，效果如圖所示

在這裡插入圖片描述

代碼為

z1 = genZ(-2,-1.5,1000,1000,0.003)

fig = plt.figure()
fig.subplots_adjust(top=1, bottom=0, left=0, right=1)
ax = plt.subplot()

mBrots = []
for x in np.arange(0.5,1,0.01):
    c = x + x*1j
    out = getJulia(z1,c,40)
    im = ax.imshow(out.get(),cmap=plt.cm.jet, animated=True)
    ax.set_axis_off()
    mBrots.append([im])

ani = animation.ArtistAnimation(fig, mBrots, interval=50)
plt.show()
ani.save('julia.gif',writer='imagemagick')

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