Python小波變換去噪的原理解析

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一.小波去噪的原理

信號產生的小波系數含有信號的重要信息，將信號經小波分解後小波系數較大，噪聲的小波系數較小，並且噪聲的小波系數要小於信號的小波系數，通過選取一個合適的閥值，大於閥值的小波系數被認為是有信號產生的，應予以保留，小於閥值的則認為是噪聲產生的，置為零從而達到去噪的目的。
小波閥值去噪的基本問題包括三個方面：小波基的選擇，閥值的選擇，閥值函數的選擇。

(1) 小波基的選擇：通常我們希望所選取的小波滿足以下條件：正交性、高消失矩、緊支性、對稱性或反對稱性。但事實上具有上述性質的小波是不可能存在的，因為小波是對稱或反對稱的隻有Haar小波，並且高消失矩與緊支性是一對矛盾，所以在應用的時候一般選取具有緊支的小波以及根據信號的特征來選取較為合適的小波。
(2) 閥值的選擇：直接影響去噪效果的一個重要因素就是閥值的選取，不同的閥值選取將有不同的去噪效果。目前主要有通用閥值（VisuShrink）、SureShrink閥值、Minimax閥值、BayesShrink閥值等。
(3) 閥值函數的選擇：閥值函數是修正小波系數的規則，不同的反之函數體現瞭不同的處理小波系數的策略。最常用的閥值函數有兩種：一種是硬閥值函數，另一種是軟閥值函數。還有一種介於軟、硬閥值函數之間的Garrote函數。

另外，對於去噪效果好壞的評價，常用信號的信噪比（SNR）與估計信號同原始信號的均方根誤差（RMSE）來判斷。

二，在python中使用小波分析進行閾值去噪聲,使用pywt.threshold函數

#coding=gbk
#使用小波分析進行閾值去噪聲,使用pywt.threshold
 
import pywt
import numpy as np
import pandas as pd 
import matplotlib.pyplot as plt 
import math 
 
data = np.linspace(1, 10, 10)
print(data)
# [ 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9. 10.]
# pywt.threshold(data, value, mode, substitute) mode 模式有4種，soft, hard, greater, less; substitute是替換值可以點進函數裡看,data/np.abs(data) * np.maximum(np.abs(data) - value, 0)
 
data_soft = pywt.threshold(data=data, value=6, mode='soft', substitute=12)
print(data_soft)
# [12. 12. 12. 12. 12.  0.  1.  2.  3.  4.] 將小於6 的值設置為12， 大於等於6 的值全部減去6
 
data_hard = pywt.threshold(data=data, value=6, mode='hard', substitute=12)
print(data_hard)
# [12. 12. 12. 12. 12.  6.  7.  8.  9. 10.] 將小於6 的值設置為12， 其餘的值不變
 
data_greater = pywt.threshold(data, 6, 'greater', 12)
print(data_greater)
# [12. 12. 12. 12. 12.  6.  7.  8.  9. 10.] 將小於6 的值設置為12，大於等於閾值的值不變化
 
data_less = pywt.threshold(data, 6, 'less', 12)
print(data_less)
# [ 1.  2.  3.  4.  5.  6. 12. 12. 12. 12.] 將大於6 的值設置為12， 小於等於閾值的值不變

三，在python中使用ecg心電信號進行小波去噪實驗

#-*-coding:utf-8-*-

import matplotlib.pyplot as plt
import pywt
import math
import numpy as np

#get Data
ecg=pywt.data.ecg()  #生成心電信號
index=[]
data=[]
coffs=[]

for i in range(len(ecg)-1):
    X=float(i)
    Y=float(ecg[i])
    index.append(X)
    data.append(Y)
#create wavelet object and define parameters
w=pywt.Wavelet('db8')#選用Daubechies8小波
maxlev=pywt.dwt_max_level(len(data),w.dec_len)
print("maximum level is"+str(maxlev))
threshold=0  #Threshold for filtering

#Decompose into wavelet components,to the level selected:
coffs=pywt.wavedec(data,'db8',level=maxlev) #將信號進行小波分解

for i in range(1,len(coffs)):
    coffs[i]=pywt.threshold(coffs[i],threshold*max(coeffs[i]))

datarec=pywt.waverec(coffs,'db8')#將信號進行小波重構

mintime=0
maxtime=mintime+len(data) 
print(mintime,maxtime)

plt.figure()
plt.subplot(3,1,1)
plt.plot(index[mintime:maxtime], data[mintime:maxtime])
plt.xlabel('time (s)')
plt.ylabel('microvolts (uV)')
plt.title("Raw signal")
plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(index[mintime:maxtime], datarec[mintime:maxtime])
plt.xlabel('time (s)')
plt.ylabel('microvolts (uV)')
plt.title("De-noised signal using wavelet techniques")
plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(index[mintime:maxtime],data[mintime:maxtime]-datarec[mintime:maxtime])
plt.xlabel('time (s)')
plt.ylabel('error (uV)')
plt.tight_layout()
plt.show()

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