Python實現多項式擬合正弦函數詳情

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1. 實驗目的

掌握最小二乘法求解（無懲罰項的損失函數）、掌握加懲罰項（2 范數）的損失函數優化、梯度下降法、共軛梯度法、理解過擬合、克服過擬合的方法(如加懲罰項、增加樣本)

2. 實驗要求

生成數據，加入噪聲；

用高階多項式函數擬合曲線；

用解析解求解兩種 loss 的最優解（無正則項和有正則項）

優化方法求解最優解（梯度下降，共軛梯度）；

用你得到的實驗數據，解釋過擬合。

用不同數據量，不同超參數，不同的多項式階數，比較實驗效果。

語言不限，可以用 matlab，python。求解解析解時可以利用現成的矩陣求逆。梯度下降，共軛梯度要求自己求梯度，迭代優化自己寫。不許用現成的平臺，例如 pytorch，tensorflow 的自動微分工具。

3. 實驗內容

3.1 算法原理

本實驗需要用多項式來擬合正弦函數。在 m 階多項式中，有 m+1 個待定系數，m+1 個系數（由低到高）組成的（列）向量記作 w。要確定 w，用最小二乘法。

設 E(w) = 1/2 * (Xw – Y)^T(Xw – Y)，其中，X 為多項式中各個未知項代入觀測數據求得的矩陣，若記 Xi 為 X 的第 i 行的向量，則 Xi[j]為第 i 個觀測數據 xi 的 j 次方，記有 n 組觀測數據，多項式最高次為 m，易知 X 的維度為 n * (m+1)。Y 為觀測標簽向量。即 Y[j]為第 j 組觀測數據的標簽值（即 y 值）。從而問題轉化為：求向量 w，使得 E(w)最小。

  • 若不加入正則項，令損失函數導數為零，求 w
  • 若加入正則項，令損失函數導數為零，求 w
  • 加入正則項，對損失函數用梯度下降，當損失函數收斂時，求 w
  • 加入正則項，對損失函數用共軛梯度法，循環迭代 m+1 次，求 w 3.2 算法實現 生成數據，加入噪聲

用高階多項式函數擬合曲線；

用解析解求解兩種 loss 的最優解（無正則項和有正則項）

無正則項：

有正則項：

優化方法求解最優解（梯度下降，共軛梯度）

梯度下降法：

共軛梯度法：

用你得到的實驗數據，解釋過擬合。

多項式次數為 1 時：

多項式次數為 3 時：

當多項式次數為 5 時：

當多項式次數為 7 時：

當多項式次數為 9 時：

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