numpy稀疏矩陣的實現

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1. coo存儲方式

采用三元組(row, col, data)(或稱為ijv format)的形式來存儲矩陣中非零元素的信息。

coo_matrix的優點：有利於稀疏格式之間的快速轉換（tobsr()、tocsr()、to_csc()、to_dia()、to_dok()、to_lil()；允許重復項（格式轉換的時候自動相加）；能與CSR / CSC格式的快速轉換

coo_matrix的缺點：不能直接進行算術運算，包括賦值

在這裡插入圖片描述

初始化方式：

coo_matrix(D), D代表密集矩陣

賦值：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import coo_matrix

>>> _row  = np.array([0, 3, 1, 0])
>>> _col  = np.array([0, 3, 1, 2])
>>> _data = np.array([4, 5, 7, 9])
>>> coo = coo_matrix((_data, (_row, _col)), shape=(4, 4), dtype=np.int)
>>> coo.todense()  # 通過toarray方法轉化成密集矩陣(numpy.matrix)
>>> coo.toarray()  # 通過toarray方法轉化成密集矩陣(numpy.ndarray)
array([[4, 0, 9, 0],
       [0, 7, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 5]])

2. dok_matrix

​ dok_matrix，即Dictionary Of Keys based sparse matrix，是一種類似於coo matrix但又基於字典的稀疏矩陣存儲方式，key由非零元素的的坐標值tuple(row, column)組成，value則代表數據值。dok matrix非常適合於增量構建稀疏矩陣，並一旦構建，就可以快速地轉換為coo_matrix。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import dok_matrix

>>> np.random.seed(10)
>>> matrix = random(3, 3, format='dok', density=0.4)
>>> matrix[1, 1] = 33
>>> matrix[2, 1] = 10
>>> matrix.toarray()
array([[ 0.        ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        , 33.        ,  0.        ],
       [ 0.19806286, 10.        ,  0.22479665]])
>>> dict(matrix)
{(2, 0): 0.19806286475962398, (2, 1): 10.0, (2, 2): 0.22479664553084766, (1, 1): 33.0}

>>> isinstance(matrix, dict)
True

3. csr和csc存儲方式

csr_matrix，全稱Compressed Sparse Row matrix，即按行壓縮的稀疏矩陣存儲方式，由三個一維數組indptr, indices, data組成。這種格式要求矩陣元「按行順序存儲」，「每一行中的元素可以亂序存儲」。那麼對於每一行就隻需要用一個指針表示該行元素的起始位置即可。indptr存儲每一行數據元素的起始位置，indices這是存儲每行中數據的列號，與data中的元素一一對應。
csr_matrix，是按列壓縮，不再贅述

在這裡插入圖片描述

csr_matrix的優點：
高效的算術運算CSR + CSR，CSR * CSR等
高效的行切片
快速矩陣運算

csr_matrix的缺點：
列切片操作比較慢（考慮csc_matrix）
稀疏結構的轉換比較慢（考慮lil_matrix或doc_matrix）

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csr_matrix

>>> indptr = np.array([0, 2, 3, 6])
>>> indices = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2])
>>> data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
>>> csr = csr_matrix((data, indices, indptr), shape=(3, 3)).toarray()
array([[1, 0, 2],
       [0, 0, 3],
       [4, 5, 6]])

4. lil_matrix

lil_matrix，即List of Lists format，又稱為Row-based linked list sparse matrix。它使用兩個嵌套列表存儲稀疏矩陣：data保存每行中的非零元素的值，rows保存每行非零元素所在的列號(列號是順序排序的)。
LIL matrix本身的設計是用來方便快捷構建稀疏矩陣實例，而算術運算、矩陣運算則轉化成CSC、CSR格式再進行，構建大型的稀疏矩陣還是推薦使用COO格式。

在這裡插入圖片描述

5. dia_matrix

​ dia_matrix，全稱Sparse matrix with DIAgonal storage，是一種對角線的存儲方式。如下圖中，將稀疏矩陣使用offsets和data兩個矩陣來表示。

在這裡插入圖片描述

>>> data = np.arange(15).reshape(3, -1) + 1
>>> offsets = np.array([0, -3, 2])
>>> dia = sparse.dia_matrix((data, offsets), shape=(7, 5))
>>> dia.toarray()
array([[ 1,  0, 13,  0,  0],
       [ 0,  2,  0, 14,  0],
       [ 0,  0,  3,  0, 15],
       [ 6,  0,  0,  4,  0],
       [ 0,  7,  0,  0,  5],
       [ 0,  0,  8,  0,  0],
       [ 0,  0,  0,  9,  0]])

6. 稀疏矩陣經驗

要有效地構造矩陣，請使用dok_matrix或lil_matrix
lil_matrix類支持基本切片和花式索引，其語法與NumPy Array類似；lil_matrix形式是基於row的，因此能夠很高效的轉為csr，但是轉為csc效率相對較低。
要執行乘法或轉置等操作，首先將矩陣轉換為CSC或CSR格式，效率高
CSR格式特別適用於快速矩陣矢量產品
CSR，CSC和COO格式之間的所有轉換都是線性復雜度。

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