利用Python實現最小二乘法與梯度下降算法

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導入所需庫

%matplotlib inline
import sympy
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x as a,y as b

生成模擬數據

# 模擬函數 y=3x-1

#自變量
x=np.linspace(-5,5,num=1000)
#加入噪聲
noise=np.random.rand(len(x))*2-1
#因變量
y=3*x-1+noise

查看所生成數據的圖像

plt.figure(figsize=(10,10))
plt.scatter(x,y,s=1)

待求回歸函數的點

求代價函數的偏導

y=ax+b  #目標函數

e=1/2*Σ([axi+b]-yi)^2   #代價函數，求使得代價函數為最小值時，對應的a和b

對a求偏導->Σ(axi+b-yi)*xi

對b求偏導->Σ(axi+b-yi)

1. 通過最小二乘法求a，b

我們知道當在a,b處的偏導為0時，代價函數e達到最小值，所以得到二元一次方程組

Σ(axi+b-yi)*xi=0
Σ(axi+b-yi)=0

該方程組是關於未知數為a,b的二元一次方程組，通過求解該方程，得到a，b 

result=sympy.solve([
  np.sum((a*x+b-y)*x),
  np.sum(a*x+b-y)],[a,b])
print(result)	#{x: 3.01182977621975, y: -1.00272253325765}

通過sympy庫解方程組，得出瞭a= 3.01182977621975，b= -1.00272253325765，已經與我們真實的a，b很接近瞭，下面進行作圖

plt.figure(figsize=(10,10))
plt.scatter(x,y,s=1)
plt.plot(x,result[a]*x+result[b],c='red')

print(type(a),type(b))	#<class 'sympy.core.symbol.Symbol'> <class 'sympy.core.symbol.Symbol'>

最小二乘法求解結果

2. 通過梯度下降算法求a，b

我們註意到最小二乘法最後一步要求p個方程組，是非常大的計算量，其實計算起來很難，因此我們就有瞭一種新的計算方法，就是梯度下降法，梯度下降法可以看作是 更簡單的一種 求最小二乘法最後一步解方程 的方法

# 註意這裡覆蓋瞭sympy.abc的a和b
# 設定a和b的起始點
a,b=0.1,0.1

#步長，也稱作學習率
alpha=0.00001

#循環一千次結束
for i in range(1000):
  a-=alpha*np.sum((a*x+b-y)*x)
  b-=alpha*np.sum(a*x+b-y)

print(a,b)	#3.0118297762197526 -1.002674927350334

通過梯度下降法，得出瞭a= 3.0118297762197526，b= -1.002674927350334，也是很接近真實的a，b值瞭，作圖看看

plt.figure(figsize=(10,10))
plt.scatter(x,y,s=1)
plt.plot(x,a*x+b,c='black')

print(type(a),type(b))	#<class 'numpy.float64'> <class 'numpy.float64'>

梯度下降求解結果

到此這篇關於利用Python實現最小二乘法與梯度下降算法的文章就介紹到這瞭,更多相關Python最小二乘法與梯度下降內容請搜索WalkonNet以前的文章或繼續瀏覽下面的相關文章希望大傢以後多多支持WalkonNet！

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