C++實現LeetCode(152.求最大子數組乘積)

[LeetCode] 152. Maximum Product Subarray 求最大子數組乘積

Given an integer array nums, find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest product.

Example 1:

Input: [2,3,-2,4]
Output: 6
Explanation: [2,3] has the largest product 6.

Example 2:

Input: [-2,0,-1]
Output: 0
Explanation: The result cannot be 2, because [-2,-1] is not a subarray.

這個求最大子數組乘積問題是由最大子數組之和 Maximum Subarray 演變而來，但是卻比求最大子數組之和要復雜，因為在求和的時候，遇到0，不會改變最大值，遇到負數，也隻是會減小最大值而已。而在求最大子數組乘積的問題中，遇到0會使整個乘積為0，而遇到負數，則會使最大乘積變成最小乘積，正因為有負數和0的存在，使問題變得復雜瞭不少。比如，現在有一個數組 [2, 3, -2, 4]，可以很容易的找出所有的連續子數組，[2]，[3]，[-2]，[4]，[2, 3]，[3, -2]，[-2, 4]，[2, 3, -2]，[3, -2, 4]，[2, 3, -2, 4]，然後可以很輕松的算出最大的子數組乘積為6，來自子數組 [2, 3]。但如何寫代碼來實現自動找出最大子數組乘積呢，博主最先想到的方比較簡單粗暴，就是找出所有的子數組，然後算出每一個子數組的乘積，然後比較找出最大的一個，需要兩個 for 循環，第一個 for 遍歷整個數組，第二個 for 遍歷含有當前數字的子數組，就是按以下順序找出子數組: [2]，[2, 3]，[2, 3, -2]，[2, 3, -2, 4]，[3]，[3, -2]，[3, -2, 4]，[-2]，[-2, 4]，[4]，在本地測試的一些數組全部通過，於是興高采烈的拿到 OJ 上測試，結果喪心病狂的 OJ 用一個有 15000 個數字的數組來測試，然後說程序的運行時間超過瞭要求值，一看代碼，果然如此，時間復雜度 O(n2), 得想辦法隻用一次循環搞定。想來想去想不出好方法，於是到網上搜各位大神的解決方法。其實這道題最直接的方法就是用 DP 來做，而且要用兩個 dp 數組，其中 f[i] 表示子數組 [0, i] 范圍內並且一定包含 nums[i] 數字的最大子數組乘積，g[i] 表示子數組 [0, i] 范圍內並且一定包含 nums[i] 數字的最小子數組乘積，初始化時 f[0] 和 g[0] 都初始化為 nums[0]，其餘都初始化為0。那麼從數組的第二個數字開始遍歷，那麼此時的最大值和最小值隻會在這三個數字之間產生，即 f[i-1]*nums[i]，g[i-1]*nums[i]，和 nums[i]。所以用三者中的最大值來更新 f[i]，用最小值來更新 g[i]，然後用 f[i] 來更新結果 res 即可，由於最終的結果不一定會包括 nums[n-1] 這個數字，所以 f[n-1] 不一定是最終解，不斷更新的結果 res 才是，參見代碼如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        int res = nums[0], n = nums.size();
        vector<int> f(n, 0), g(n, 0);
        f[0] = nums[0];
        g[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            f[i] = max(max(f[i - 1] * nums[i], g[i - 1] * nums[i]), nums[i]);
            g[i] = min(min(f[i - 1] * nums[i], g[i - 1] * nums[i]), nums[i]);
            res = max(res, f[i]);
        }
        return res;
    }
};

我們可以對上面的解法進行空間上的優化，以下摘自 OJ 官方解答，大體思路相同，寫法更加簡潔：

Besides keeping track of the largest product, we also need to keep track of the smallest product. Why? The smallest product, which is the largest in the negative sense could become the maximum when being multiplied by a negative number.

Let us denote that:

f(k) = Largest product subarray, from index 0 up to k.

Similarly,

g(k) = Smallest product subarray, from index 0 up to k.

Then,

f(k) = max( f(k-1) * A[k], A[k], g(k-1) * A[k] )
g(k) = min( g(k-1) * A[k], A[k], f(k-1) * A[k] )

There we have a dynamic programming formula. Using two arrays of size n, we could deduce the final answer as f(n-1). Since we only need to access its previous elements at each step, two variables are sufficient.

public int maxProduct(int[] A) {
   assert A.length > 0;
   int max = A[0], min = A[0], maxAns = A[0];
   for (int i = 1; i < A.length; i++) {
      int mx = max, mn = min;
      max = Math.max(Math.max(A[i], mx * A[i]), mn * A[i]);
      min = Math.min(Math.min(A[i], mx * A[i]), mn * A[i]);
      maxAns = Math.max(max, maxAns);
   }
   return maxAns;
}

根據上述描述可以寫出代碼如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        if (nums.empty()) return 0;
        int res = nums[0], mn = nums[0], mx = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            int tmax = mx, tmin = mn;
            mx = max(max(nums[i], tmax * nums[i]), tmin * nums[i]);
            mn = min(min(nums[i], tmax * nums[i]), tmin * nums[i]);
            res = max(res, mx);
        }
        return res;
    }
};

下面這種方法也是用兩個變量來表示當前最大值和最小值的，但是沒有無腦比較三個數，而是對於當前的 nums[i] 值進行瞭正負情況的討論：

2. 當遍歷到一個負數時，先用一個變量t保存之前的最大值 mx，然後此時的最大值等於之前最小值乘以這個負數和當前負數中的較大值，此時的最小值等於之前保存的最大值t乘以這個負數和當前負數中的較小值。

3. 在每遍歷完一個數時，都要更新最終的最大值。

解法三：

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        int res = nums[0], mx = res, mn = res;
        for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            if (nums[i] > 0) {
                mx = max(mx * nums[i], nums[i]);
                mn = min(mn * nums[i], nums[i]);
            } else {
                int t = mx;
                mx = max(mn * nums[i], nums[i]);
                mn = min(t * nums[i], nums[i]);
            }
            res = max(res, mx);
        }
        return res;
    }
};

下面這道題使用瞭一個 trick 來將上面解法的分情況討論合成瞭一種，在上面的解法中分析瞭當 nums[i] 為正數時，最大值和最小值的更新情況，為負數時，稍有不同的就是最小值更新時要用到之前的最大值，而不是更新後的最大值，所以才要用變量t來保存之前的結果。而下面這種方法的巧妙處在於先判斷一個當前數字是否是負數，是的話就交換最大值和最小值。那麼此時的 mx 就是之前的 mn，所以 mx 的更新還是跟上面的方法是統一的，而在在更新 mn 的時候，之前的 mx 已經保存到 mn 中瞭，而且並沒有改變，所以可以直接拿來用，不得不說，確實叼啊，參見代碼如下：

解法四：

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        int res = nums[0], mx = res, mn = res;
        for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            if (nums[i] < 0) swap(mx, mn);
            mx = max(nums[i], mx * nums[i]);
            mn = min(nums[i], mn * nums[i]);
            res = max(res, mx);
        }
        return res;
    }
};

再來看一種畫風不太一樣的解法，這種解法遍歷瞭兩次，一次是正向遍歷，一次是反向遍歷，相當於正向建立一個累加積數組，每次用出現的最大值更新結果 res，然後再反響建立一個累加積數組，再用出現的最大值更新結果 res，註意當遇到0的時候，prod 要重置為1。至於為啥正反兩次遍歷就可以得到正確的結果瞭呢？主要還是由於負數個數的關系，因為負數可能會把最大值和最小值翻轉，那麼當有奇數個負數時，如果隻是正向遍歷的話，可能會出錯，比如 [-1, -2, -3]，累加積會得到 -1，2，-6，看起來最大值隻能為2，其實不對，而如果我們再反向來一遍，累加積為 -3，6，-6，就可以得到6瞭。所以當負數個數為奇數時，首次出現和末尾出現的負數就很重要，有可能會是最大積的組成數字，所以遍歷兩次就不會漏掉組成最大值的機會，參見代碼如下：

解法五：

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        int res = nums[0], prod = 1, n = nums.size();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            res = max(res, prod *= nums[i]);
            if (nums[i] == 0) prod = 1;
        }
        prod = 1;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            res = max(res, prod *= nums[i]);
            if (nums[i] == 0) prod = 1;
        }
        return res;
    }
};

Github 同步地址：

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/152

類似題目：

Maximum Subarray

House Robber

Product of Array Except Self

Maximum Product of Three Numbers

Subarray Product Less Than K

參考資料：

https://leetcode.com/problems/maximum-product-subarray/

https://leetcode.com/problems/maximum-product-subarray/discuss/48302/2-passes-scan-beats-99

https://leetcode.com/problems/maximum-product-subarray/discuss/48261/share-my-dp-code-that-got-ac

https://leetcode.com/problems/maximum-product-subarray/discuss/48252/sharing-my-solution-o1-space-on-running-time

https://leetcode.com/problems/maximum-product-subarray/discuss/48230/possibly-simplest-solution-with-on-time-complexity

https://leetcode.com/problems/maximum-product-subarray/discuss/48389/my-concise-dp-on-java-solution-with-o1-extra-space

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