python深度學習人工智能BackPropagation鏈式法則

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1.鏈式法則

根據以前的知識，如果我們需要尋找到目標參數的值的話，我們需要先給定一個初值，然後通過梯度下降，不斷對其更新，直到最終的損失值最小即可。而其中最關鍵的一環，就是梯度下降的時候，需要的梯度，也就是需要求最終的損失函數對參數的導數。

如下圖，假設有一個神經元，是輸入層，有2個數據，參數分別是w1和w2，偏置項為b，那麼我們需要把這些參數組合成一個函數z，然後將其輸入到sigmoid函數中，便可得到該神經元的輸出結果。過程中，z對w求導十分好算，就是x1和x2。根據鏈式法則，如下圖左下角所示，我們整體的計算過程就是，通過前向傳播求出z對w的偏導，再通過反向傳播找到損失函數C對z的偏導。

2.前向傳播

計算z對w的偏導：前向傳播相當簡單，對參數的偏導結果就是參數對應的輸入數據，如下圖所示。輸入數據對於輸入層來說就是原始數據1和-1，對於其他層，輸入數據就是通過sigmoid轉換後的輸出結果。

3.後向傳播

計算C對z的偏導：

設每一個神經元中，sigmoid函數最終的輸出為a，則C對z的偏導，根據鏈式法則，就可以寫作a對z的偏導，乘上C對a的偏導。

a對z的偏導，隻是一個sigmoid函數，該函數偏導可以計算。

C對a的偏導，由於a輸入進瞭下一層的多個神經元，假設有2個，因此，C對a的偏導，等於分別對這兩個神經元求偏導並求和。比如第一個神經元z’ = 輸入a*權重w3+…，那麼C對這個神經元求偏導，就是C對z’求偏導，乘上z’對a求偏導，後一項十分簡單，就是w3；對於z”來說，對a求偏導就是w4

那麼問題又變成瞭，C對z’, z”求偏導的結果是什麼？

假！如！ 損失函數C對z’和z”的偏導已知瞭：

以上C對z求偏導的計算過程，可以寫作以下的式子，括號外就是a對z求偏導，括號內就是C對a求偏導：

這個式子可以看做一個反向傳播的神經元，如下圖所示：

這個神經元中，損失函數C對sigmoid轉化前的z’ 和z”求導的結果，就是輸入，權重w3,w4是輸入對應的權重，將這兩個輸入乘上參數後相加，再和sigmoid函數對z的導數相乘，最終得到C對z的偏導。而sigmoid對z的導數，這個是常數，並且已經是確定瞭的，因為我們通過前向傳播計算，就已經能夠將其確定。

有瞭第一個反向傳播的輸出結果，那麼就可以有隱藏層的其他神經元所需要的結果，以此類推，對於所有神經元，我們均可算出損失函數對其z的偏導。有瞭這個，那麼我們結合z對w的偏導，就可以計算出每一個參數w的梯度。從而進行梯度下降。

4.計算方式整理

假設我們計算的是輸出層，那麼我們通過前向傳播後，已經得到瞭一個輸出瞭，於是就已經有損失函數C瞭，同時前向傳播也讓我們得到瞭z’和z”，那麼所有需要的數據已就緒，可以直接計算出來C對z’和z”的偏導。

假如我們計算的是中間層，在計算C對z’的偏導的時候，還需要下一層通過反向傳播給到的C對兩個其他z的結果，那麼我們就繼續往下計算，繼續尋找下一層計算的時候，需要的下下一層的信息，一直到輸出層後，我們得到一個，再往回推，以此遞歸計算前面待定的所有項。

5.總結

既然我們需要輸出層的內容作為反向傳播的輸入，我們在進行完前向傳播之後，就別考慮前面需要什麼求導瞭，幹脆直接從結尾開始算起，得到每一層的損失函數C對每一個z的偏導即可。

至此，我們得到瞭每一個神經元前向傳播的z對w的偏導（其實就是sigmoid轉化後的輸出a），以及每一個神經元反向傳播後的C對z的偏導，二者相乘，就得到瞭我們需要的結果，也就是每一個參數的梯度。

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