關於Java float和double精度范圍大小

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Java float和double精度范圍大小

要想理解float和double的取值范圍和計算精度，必須先瞭解小數是如何在計算機中存儲的：

舉個例子：78.375，是一個正小數。要在計算機中存儲這個數，需要把它表示為浮點數的格式，先執行二進制轉換：

一、小數的二進制轉換(浮點數)

78.375的整數部分：

小數部分：

所以，78.375的二進制形式就是1001110.011

然後，使用二進制科學記數法，有

註意，轉換後用二進制科學記數法表示的這個數，有底有指數有小數部分，這個就叫做浮點數

二、浮點數在計算機中的存儲

在計算機中，保存這個數使用的是浮點表示法，分為三大部分：

  • 第一部分用來存儲符號位（sign），用來區分正負數，這裡是0，表示正數
  • 第二部分用來存儲指數（exponent），這裡的指數是十進制的6
  • 第三部分用來存儲小數（fraction），這裡的小數部分是001110011

需要註意的是，指數也有正負之分，後面再講。

如下圖所示（圖片來自維基百科）：

比如float類型是32位，是單精度浮點表示法：

  • 符號位（sign）占用1位，用來表示正負數，
  • 指數位（exponent）占用8位，用來表示指數，
  • 小數位（fraction）占用23位，用來表示小數，不足位數補0。

而double類型是64位，是雙精度浮點表示法：

  • 符號位占用1位，指數位占用11位，小數位占用52位。

到這裡其實已經可以隱隱看出：

  • 指數位決定瞭大小范圍，因為指數位能表示的數越大則能表示的數越大嘛！
  • 而小數位決定瞭計算精度，因為小數位能表示的數越大，則能計算的精度越大咯！

可能還不夠明白，舉例子吧：

  • float的小數位隻有23位，即二進制的23位，能表示的最大的十進制數為2的23次方，即8388608，即十進制的7位，嚴格點，精度隻能百分百保證十進制的6位運算。
  • double的小數位有52位，對應十進制最大值為4 503 599 627 370 496，這個數有16位，所以計算精度隻能百分百保證十進制的15位運算。

三、指數位的偏移量與無符號表示

需要註意的是指數可能是負數，也有可能是正數，即指數是有符號整數，而有符號整數的計算是比無符號整數麻煩的。所以為瞭減少不必要的麻煩，在實際存儲指數的時候，需要把指數轉換成無符號整數。那麼怎麼轉換呢？

註意到float的指數部分是8位，則指數的取值范圍是 -126到+127，為瞭消除負數帶來的實際計算上的影響（比如比較大小，加減法等），可以在實際存儲的時候，給指數做一個簡單的映射，加上一個偏移量，比如float的指數偏移量為127，這樣就不會有負數出現瞭。

比如

  • 指數如果是6，則實際存儲的是6+127=133，即把133轉換為二進制之後再存儲。
  • 指數如果是-3，則實際存儲的是-3+127=124，即把124轉換為二進制之後再存儲。

當我們需要計算實際代表的十進制數的時候，再把指數減去偏移量即可。

對應的double類型，存儲的時候指數偏移量是1023。

四、小結一下

所以用float類型來保存十進制小數78.375的話，需要先轉換成浮點數，得到符號位和指數和小數部分。

這個例子前面已經分析過，所以：

符號位是0，

指數位是6+127=133，二進制表示為10 000 101，

小數部分是001110011，不足部分請自動補0。

連起來用float表示，加粗部分是指數位，最左邊是符號位0，代表正數：

0 10000101 001110011 00000 00000 0000

如果用double來保存。。。自己計算吧，太多0瞭。

float和double的范圍到底是多少

Java中float占4個字節，32bit。計算范圍公式為 ((-1)^S)* (2^(E-127))*(1.M) ,其中S占一位是符號位，E所占8bit是指數位，M占23位是尾數位。

這裡一開始（1.M）部分一開始我一直沒想明白為什麼前面是1，突然有一天腦子開竅瞭，科學計數法表示的時候小數點前面就必須是1,所以規格化的時候小數點前面是1。

E占8位，所以大小是0-255，但是為瞭表示小數，指數部分需要可以是小數，對半一分，所以最後是E-127，也就是說指數部分為-127-128。

尾數部分沒什麼好說的，范圍就是1-1.11……（23位全是1）

註意 ：尾數這裡1.1111實際上是 十進制的1 + 二進制的0.1111， 什麼意思呢, 舉例說明會清楚一點：

1.1 —-> 1+1/2 = 1.5 = 2-1/2

1.11 —–> 1+1/2 +1/4 = 1.75 = 2-1/4

總結一下上面的

按道理最大值應該是(2^128)*(2-2^(-23))=2^129-2^105=6.81*10^38,但是一般書上說的都是3.40*10^38,那麼問題又來瞭，為什麼會大瞭2倍？

排除掉所有出書的人抄來抄去的行為導致所有的書都錯瞭這個因素，那麼剩下的隻能是上面某個地方出瞭問題。首先，回到上面那個我加粗的規格化上去（我個人覺得完全可以用一般情況來代替這個詞），仔細想想，假如所有的數都是上面那種規格化表示的時候：

第一：得到的數永遠是（1.M）乘以一個數，指數部分是不會為0的，那麼0怎麼表示？

第二：無窮大和無窮小，還有NAN（not a number）又是怎麼用這32bit表示出來的？我曾經想過的一個解釋是，計算機裡沒有那個數就表示NAN嘛。。。以前還真覺得這個好有道理來著。但是計算機這個東西你隻能當做一個工具，也就是說它不能無中生有，它隻能處理我們給它的東西，所有無窮大無窮小還有NAN在計算機裡肯定有一種表示方式。

所以，一定還有非規格化的表示，也就是所謂的特殊情況。

第一：當E是8個0的時候，此時就不是（1.M）而是（0.M）瞭，這個時候就可以表示出0瞭，當然還可以表示那些非常接近0的數。

第二：當E是8個1的時候，如果小數域全是0，表示的是無窮，其餘的表示NAN。

由上可知，指數部分為（0-127）和（255-127）的時候表示的是兩種特殊情況，所以E的范圍應該是【-126，127】。最後，得出的結論是規格化的浮點數的表示范圍是 正負(2^127)*(2-2^(-23))=2^128-2^104=3.40*10^38

以上為個人經驗，希望能給大傢一個參考，也希望大傢多多支持WalkonNet。

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