C語言求兩個正整數的最大公約數示例代碼
前言
兩個正整數的最大公約數（Greatest Common Divisor, GCD）是能夠整除這兩個整數的最大整數。兩個正整數的最大公約數的求法有多種解答，本文就三種方法做詳細介紹：窮舉法、歐幾裡得算法（輾轉相除法）、遞歸方法。
我們從一道問題來引入：編寫計算最大公約數的函數Gcd()，在主函數中調用該函數計算並輸出從鍵盤任意輸入的最大公約數。
1.窮舉法
根據最大公約數的定義，我們可以采用一種最簡單的方法——窮舉法來編寫代碼。由於a和b的最大公約數不可能比a和b中的較小者還大，否則一定不能整除它，因此，先找到a和b中的較小者t，然後從t開始逐次減1嘗試每種可能，即檢驗t到1之間的所有整數，第一個滿足公約數條件的t，就是a和b的最大公約數。據此我們可編寫函數Gcd()如下：
//函數功能：計算a和b的最大公約數，輸入負數時返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
int i, t;
if (a <=0 || b <= 0)
return -1;
t = a < b ? a : b;
for (i=t; i>0; i--)
{
if (a%i==0 && b%i==0)
return i;
}
return 1;
}
這種方法簡單暴力，思維量小，但效率較低，且當兩個正整數都較大，且最大公約數為1時，循環的次數為較小數的值，可想而知所需時間會很長。
2.歐幾裡得算法（輾轉相除法）
下面介紹一種求最大公約數較常用的辦法：歐幾裡得算法（輾轉相除法）。
忽略數學原理，我們有如下算法：對正整數a和b，連續進行求餘運算，直到餘數為0為止，此時非0的除數就是最大公約數。設 r=a mod b 表示a除以b的餘數，若 r≠0 ，則將b作為新的a，r作為新的b，重復 a mod b 運算，直到 r=0 為止，此時b為所求的最大公約數。例如，50和15的最大公約數的求解過程可表示為：Gcd(50, 15)=Gcd(15, 5)=Gcd(5, 0)=5。
用這種算法可編寫函數Gcd()如下：
//函數功能：計算a和b的最大公約數，輸入負數時返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
int r;
if (a <= 0 || b <= 0)
return -1;
do{
r = a % b;
a = b;
b = r;
} while (r != 0);
return a;
}
我們也可以考慮使用遞歸實現如下：
//函數功能：計算a和b的最大公約數，輸入負數時返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
if (a <= 0 || b <= 0)
return -1;
if (a % b == 0)
return b;
else
return Gcd(b, a % b);
}
3.遞歸方法
對於最大公約數，還有3條性質：
性質1 如果 a>b，則a和b與a-b和b的最大公約數相同；
性質2 如果 b>a，則a和b與a和b-a的最大公約數相同；
性質3 如果 a=b，則a和b的最大公約數與a值和b值相同。
對正整數a和b，當 a>b 時，若a中含有與b相同的公約數，則a中去掉b後剩餘的部分a-b中也應含有與b相同的公約數，對a-b和b計算公約數就相當於對a和b計算公約數。反復使用最大公約數的3條性質，直到a和b相等為止，這時，a或b就是它們的最大公約數。
這就是所謂的第三種方法：遞歸方法。雖然此法被稱為遞歸方法，但隻是思想方法運用瞭遞歸的方法，並不代表隻能使用遞歸實現。我們同樣可以通過非遞歸和遞歸兩種手段編寫函數Gcd()。非遞歸實現如下：
//函數功能：計算a和b的最大公約數，輸入負數時返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
if (a <= 0 || b <= 0)
return -1;
while (a != b)
{
if (a > b)
a = a - b;
else if (b > a)
b = b - a;
}
return a;
}
編寫遞歸函數如下：
//函數功能：計算a和b的最大公約數，輸入負數時返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
if (a <= 0 || b <= 0)
return -1;
if (a == b)
return a;
else if (a > b)
return Gcd(a-b, b);
else
return Gcd(a, b-a);
}
以上就是三種計算最大公約數的算法，可使用如下主函數來調用函數Gcd()，計算最大公約數：
#include <stdio.h>
int Gcd(int a, int b);
int main(void)
{
int a, b, c;
printf("Input a,b:");
scanf("%d,%d", &a, &b);
c = Gcd(a,b);
if (c != -1)
printf("Greatest Common Divisor of %d and %d is %d\n", a, b, c);
else
printf("Input number should be positive!\n");
return 0;
}
求兩個正整數的最大公約數的過程，實質上是使用最大公約數的定義及性質求解的過程，對此感興趣的夥伴們可以自己研究相關數學原理與證明。
附：相減法
這種方法比較易於理解，原理是先判斷兩個正整數大小，並將較大數與較小數的差值賦給較大數，循環此步驟直到兩數相等，此時得出最大公約數。
代碼如下：
#include<stdio.h>
int main()
{
int m,n;
printf("請輸入兩個正整數:");
scanf("%d %d",&m,&n);
printf("%d%和%d的最大公約數是",m,n);
while(m!=n)
{
if(m>n)
{
m=m-n;
}else
{
n=n-m;
}
}
printf("%d",n);
return 0;
}
參考文獻：
蘇小紅 王甜甜 趙玲玲 范江波 車萬翔 等編著 王宇穎 主審，C語言程序設計學習指導（第4版），高等教育出版社，P57-60.
總結
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