C語言每日練習之二叉堆
一、堆的概念
1、概述
堆是計算機科學中一類特殊的數據結構的統稱。實現有很多，例如：大頂堆，小頂堆，斐波那契堆，左偏堆，斜堆 等等。從子結點個數上可以分為二叉堆，N叉堆等等。本文將介紹的是 二叉堆。
2、定義
二叉堆本質是一棵完全二叉樹，所以每次元素的插入刪除都能保證 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)。根據堆的偏序規則，分為 小頂堆 和 大頂堆。小頂堆，顧名思義，根結點的關鍵字最小；大頂堆則相反。如圖所示，表示的是一個大頂堆。
3、性質
以大頂堆為例，它總是滿足下列性質：
1）空樹是一個大頂堆；
2）大頂堆中某個結點的關鍵字 小於等於 其父結點的關鍵字；
3）大頂堆是一棵完全二叉樹。有關完全二叉樹的內容，可以參考：畫解完全二叉樹。
如下圖所示，任意一個從葉子結點到根結點的路徑總是一個單調不降的序列。
小頂堆隻要把上文中的 小於等於 替換成 大於等於 即可。
4、作用
還是以大頂堆為例，堆能夠在 O ( 1 ) O(1) O(1) 的時間內，獲得 關鍵字 最大的元素。並且能夠在 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n) 的時間內執行插入和刪除。一般用來做 優先隊列 的實現。
二、堆的存儲結構
學習堆的過程中，我們能夠學到一種新的表示形式。就是：利用 數組 來表示 鏈式結構。怎麼理解這句話呢？
由於堆本身是一棵完全二叉樹，所以我們可以把每個結點，按照層序映射到一個順序存儲的數組中，然後利用每個結點在數組中的下標，來確定結點之間的關系。
如圖所示，描述的是堆結點下標和結點之間的關系，結點上的數字代表的是 數組下標。從左往右按照層序進行連續遞增。
1、根結點編號
根結點的編號，看作者的喜好。可以用 0 或者 1。本文的作者是 C語言 出身，所以更傾向於選擇 0 作為根結點的編號（因為用 1 作為根結點編號的話，數組的第 0 個元素就浪費瞭）。
我們可以用一個宏定義來實現它的定義，如下：
#define root 0
2、孩子結點編號
那麼，根結點的兩個左右子樹的編號，就分別為 1 和 2 瞭。以此類推，按照層序進行編號的話，1 的左右子樹編號為 3 和 4；2 的左右子樹編號為 5 和 6。
根據數學歸納法，對於編號為 i i i 的結點，它的左子樹編號為 2 i + 1 2i+1 2i+1，右子樹編號為 2 i + 2 2i+2 2i+2。用宏定義實現如下：
#define lson(idx) (2*idx+1) #define rson(idx) (2*idx+2)
由於這裡涉及到乘 2，所以我們還可以用左移位運算來優化乘法運算，如下：
#define lson(idx) (idx << 1|1) #define rson(idx) ((idx + 1) << 1)
3、父結點編號
同樣，父結點編號也可以通過數學歸納法得出，當結點編號為 i i i 時，它的父結點編號為 i − 1 2 \frac {i-1} {2} 2i−1，利用C語言實現如下：
#define parent(idx) ((idx - 1) / 2)
這裡涉及到除 2，可以利用右移運算符進行優化，如下：
#define parent(idx) ((idx - 1) >> 1)
這裡利用補碼的性質，根結點的父結點得到的值為 -1；
4、數據域
堆數據元素的數據域可以定義兩個：關鍵字 和 值，其中關鍵字一般是整數，方便進行比較確定大小關系；值則是用於展示用，可以是任意類型，可以用typedef struct進行定義如下：
typedef struct {
int key; // (1)
void *any; // (2)
}DataType;
- (1) 關鍵字；
- (2) 值，定義成一個空指針，可以用來表示任意類型；
5、堆的數據結構
由於堆本質上是一棵完全二叉樹，所以將它一一映射到數組後，一定是連續的。我們可以用一個數組來代表一個堆，在C語言中的數組擁有一個固定長度，可以用一個Heap結構體表示如下：
typedef struct {
DataType *data; // (1)
int size; // (2)
int capacity; // (3)
}Heap;
- (1) 堆元素所在數組的首地址；
- (2) 堆元素個數；
- (3) 堆的最大元素個數；
三、堆的常用接口
1、元素比較
兩個堆元素的比較可以采用一個比較函數compareData來完成，比較過程就是對關鍵字key進行比較的過程，以大頂堆為例：
a. 大於返回 -1，代表需要執行交換；
b. 小於返回 1，代表需要執行交換；
c. 等於返回 0，代表需要執行交換；
int compareData(const DataType* a, const DataType* b) {
if(a->key > b->key) {
return -1;
}else if(a->key < b->key) {
return 1;
}
return 0;
}
2、交換元素
交換兩個元素的位置，也是堆這種數據結構中很常見的操作，C語言實現也比較簡單，如下：
void swap(DataType* a, DataType* b) {
DataType tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
3、空判定
空判定是一個查詢接口，即詢問堆是否是空的，實現如下：
bool HeapIsEmpty(Heap *heap) {
return heap->size == 0;
}
4、滿判定
滿判定是一個查詢接口，即詢問堆是否是滿的，實現如下：
bool heapIsFull(Heap *heap) {
return heap->size == heap->capacity;
}
5、上浮操作
對於大頂堆而言，從它葉子結點到根結點的元素關鍵字一定是單調不降的，如果某個元素出現瞭比它的父結點大的情況，就需要進行上浮操作。
上浮操作就是對 當前結點 和 父結點 進行比較，如果它的關鍵字比父結點大（compareData返回-1的情況），將它和父結點進行交換，繼續上浮操作；否則，終止上浮操作。
如圖所示，代表的是一個關鍵字為 95 的結點，通過不斷上浮，到達根結點的過程。上浮完畢以後，它還是一個大頂堆。
上浮過程的 C語言 實現如下：
void heapShiftUp(Heap* heap, int curr) { // (1)
int par = parent(curr); // (2)
while(par >= root) { // (3)
if( compareData( &heap->data[curr], &heap->data[par] ) < 0 ) {
swap(&heap->data[curr], &heap->data[par]); // (4)
curr = par;
par = parent(curr);
}else {
break; // (5)
}
}
}
(1) heapShiftUp這個接口是一個內部接口，所以用小寫駝峰區分，用於實現對堆中元素進行插入的時候的上浮操作；
(2) curr表示需要進行上浮操作的結點在堆中的編號，par表示curr的父結點編號；
(3) 如果已經是根結點，則無須進行上浮操作；
(4) 子結點的關鍵字 大於 父結點的關鍵字，則執行交換，並且更新新的 當前結點 和 父結點編號；
(5) 否則，說明已經正確歸位，上浮操作結束，跳出循環；
6、下沉操作
對於大頂堆而言，從它 根結點 到 葉子結點 的元素關鍵字一定是單調不增的，如果某個元素出現瞭比它的某個子結點小的情況，就需要進行下沉操作。
下沉操作就是對 當前結點 和 關鍵字相對較小的子結點 進行比較，如果它的關鍵字比子結點小，將它和這個子結點進行交換，繼續下沉操作；否則，終止下沉操作。
如圖所示，代表的是一個關鍵字為 19 的結點，通過不斷下沉，到達葉子結點的過程。下沉完畢以後，它還是一個大頂堆。
下沉過程的 C語言 實現如下：
void heapShiftDown(Heap* heap, int curr) { // (1) int son = lson(curr); // (2) while(son < heap->size) { if( rson(curr) < heap->size ) { if( compareData( &heap->data[rson(curr)], &heap->data[son] ) < 0 ) { son = rson(curr); // (3) } } if( compareData( &heap->data[son], &heap->data[curr] ) < 0 ) { swap(&heap->data[son], &heap->data[curr]); // (4) curr = son; son = lson(curr); }else { break; // (5) } }}void heapShiftDown(Heap* heap, int curr) { // (1)
int son = lson(curr); // (2)
while(son < heap->size) {
if( rson(curr) < heap->size ) {
if( compareData( &heap->data[rson(curr)], &heap->data[son] ) < 0 ) {
son = rson(curr); // (3)
}
}
if( compareData( &heap->data[son], &heap->data[curr] ) < 0 ) {
swap(&heap->data[son], &heap->data[curr]); // (4)
curr = son;
son = lson(curr);
}else {
break; // (5)
}
}
}
(1) heapShiftDown這個接口是一個內部接口，所以用小寫駝峰區分，用於對堆中元素進行刪除的時候的下沉調整；
(2) curr表示需要進行下沉操作的結點在堆中的編號，son表示curr的左兒子結點編號；
(3) 始終選擇關鍵字更小的子結點；
(4) 子結點的值小於父結點，則執行交換；
(5) 否則，說明已經正確歸位，下沉操作結束，跳出循環；
四、堆的創建
1、算法描述
通過給定的數據集合，創建堆。可以先創建堆數組的內存空間，然後一個一個執行堆的插入操作。插入操作的具體實現，會在下文繼續講解。
2、動畫演示
3、源碼詳解
Heap* HeapCreate(DataType *data, int dataSize, int maxSize) { // (1)
int i;
Heap *h = (Heap *)malloc( sizeof(Heap) ); // (2)
h->data = (DataType *)malloc( sizeof(DataType) * maxSize ); // (3)
h->size = 0; // (4)
h->capacity = maxSize; // (5)
for(i = 0; i < dataSize; ++i) {
HeapPush(h, data[i]); // (6)
}
return h; // (7)
}
(1) 給定一個元素個數為dataSize的數組data，創建一個最大元素個數為maxSize的堆並返回堆的結構體指針；
(2) 利用malloc申請堆的結構體的內存；
(3) 利用malloc申請存儲堆數據的數組的內存空間；
(4) 初始化空堆；
(5) 初始化堆最大元素個數為maxSize；
(6) 遍歷數組執行堆的插入操作，插入的具體實現HeapPush接下來會講到；
(7) 最後，返回堆的結構體指針；
五、堆元素的插入
1、算法描述
堆元素的插入過程，就是先將元素插入堆數組的最後一個位置，然後執行上浮操作；
2、動畫演示
3、源碼詳解
bool HeapPop(Heap *heap) {
if(HeapIsEmpty(heap)) {
return false; // (1)
}
heap->data[root] = heap->data[ --heap->size ]; // (2)
heapShiftDown(heap, root); // (3)
return true;
}
(1) 堆已滿，不能進行插入；
(2) 插入堆數組的最後一個位置；
(3) 對最後一個位置的 堆元素 執行上浮操作；
五、堆元素的刪除
1、算法描述
堆元素的刪除，隻能對堆頂元素進行操作，可以將數組的最後一個元素放到堆頂，然後對堆頂元素進行下沉操作。
2、動畫演示
3、源碼詳解
bool HeapPop(Heap *heap) {
if(HeapIsEmpty(heap)) {
return false; // (1)
}
heap->data[root] = heap->data[ --heap->size ]; // (2)
heapShiftDown(heap, root); // (3)
return true;
}
- (1) 堆已空，無法執行刪除；
- (2) 將堆數組的最後一個元素放入堆頂，相當於刪除瞭堆頂元素；
- (3) 對堆頂元素執行下沉操作；
總結
本篇文章就到這裡瞭，希望能夠給你帶來幫助，也希望您能夠多多關註WalkonNet的更多內容!