如何用JavaScript學習算法復雜度

概述

在本文中,我們將探討 “二次方” 和 “n log(n)” 等術語在算法中的含義。

在後面的例子中,我將引用這兩個數組,一個包含 5 個元素,另一個包含 50 個元素。我還會用到JavaScript中方便的performance API來衡量執行時間的差異。

const smArr = [5, 3, 2, 35, 2];

const bigArr = [5, 3, 2, 35, 2, 5, 3, 2, 35, 2, 5, 3, 2, 35, 2, 5, 3, 2, 35, 2, 5, 3, 2, 35, 2, 5, 3, 2, 35, 2, 5, 3, 2, 35, 2, 5, 3, 2, 35, 2, 5, 3, 2, 35, 2, 5, 3, 2, 35, 2];

什麼是 Big O 符號?

Big O 表示法是用來表示隨著數據集的增加,計算任務難度總體增長的一種方式。盡管還有其他表示法,但通常 big O 表示法是最常用的,因為它著眼於最壞的情況,更容易量化和考慮。最壞的情況意味著完成任務需要最多的操作次數;如果你在一秒鐘內就能恢復打亂魔方,那麼你隻擰瞭一圈的話,不能說自己是做得最好的。

當你進一步瞭解算法時,就會發現這非常有用,因為在理解這種關系的同時去編寫代碼,就能知道時間都花在瞭什麼地方。

當你瞭解更多有關 Big O 表示法的信息時,可能會看到下圖中不同的變化。我們希望將復雜度保持在盡可能低的水平,最好避免超過 O(n)。

O(1)

這是理想的情況,無論有多少個項目,不管是一個還是一百萬個,完成的時間量都將保持不變。執行單個操作的大多數操作都是 O(1)。把數據寫到數組、在特定索引處獲取項目、添加子元素等都將會花費相同的時間量,這與數組的長度無關。

const a1 = performance.now();
smArr.push(27);
const a2 = performance.now();
console.log(`Time: ${a2 - a1}`); // Less than 1 Millisecond


const b1 = performance.now();
bigArr.push(27);
const b2 = performance.now();
console.log(`Time: ${b2 - b1}`); // Less than 1 Millisecond

O(n)

在默認情況下,所有的循環都是線性增長的,因為數據的大小和完成的時間之間存在一對一的關系。所以如果你有 1,000 個數組項,將會花費的 1,000 倍時間。

const a1 = performance.now();
smArr.forEach(item => console.log(item));
const a2 = performance.now();
console.log(`Time: ${a2 - a1}`); // 3 Milliseconds

const b1 = performance.now();
bigArr.forEach(item => console.log(item));
const b2 = performance.now();
console.log(`Time: ${b2 - b1}`); // 13 Milliseconds

O(n^2)

指數增長是一個陷阱,我們都掉進去過。你是否需要為數組中的每個項目找到匹配對?將循環放入循環中是一種很好的方式,可以把 1000 個項目的數組變成一百萬個操作搜索,這將會使你的瀏覽器失去響應。與使用雙重嵌套循環進行一百萬次操作相比,最好在兩個單獨的循環中進行 2,000 次操作。

const a1 = performance.now();
smArr.forEach(() => {
    arr2.forEach(item => console.log(item));
});
const a2 = performance.now();
console.log(`Time: ${a2 - a1}`); // 8 Milliseconds


const b1 = performance.now();
bigArr.forEach(() => {
    arr2.forEach(item => console.log(item));
});
const b2 = performance.now();
console.log(`Time: ${b2 - b1}`); // 307 Milliseconds

O(log n)

我認為關於對數增長最好的比喻,是想象在字典中查找像 “notation” 之類的單詞。你不會在一個詞條一個詞條的去進行搜索,而是先找到 “N” 這一部分,然後是 “OPQ” 這一頁,然後按字母順序搜索列表直到找到匹配項。

通過這種“分而治之”的方法,找到某些內容的時間仍然會因字典的大小而改變,但遠不及 O(n) 。因為它會在不查看大部分數據的情況下逐步搜索更具體的部分,所以搜索一千個項目可能需要少於 10 個操作,而一百萬個項目可能需要少於 20 個操作,這使你的效率最大化。

在這個例子中,我們可以做一個簡單的快速排序。

const sort = arr => {
  if (arr.length < 2) return arr;

  let pivot = arr[0];
  let left = [];
  let right = [];

  for (let i = 1, total = arr.length; i < total; i++) {
    if (arr[i] < pivot) left.push(arr[i]);
    else right.push(arr[i]);
  };
  return [
    ...sort(left),
    pivot,
    ...sort(right)
  ];
};
sort(smArr); // 0 Milliseconds
sort(bigArr); // 1 Millisecond

O(n!)

最糟糕的一種可能性是析因增長。最經典的例子就是旅行的推銷員問題。如果你要在很多距離不同的城市之間旅行,如何找到在所有城市之間返回起點的最短路線?暴力方法將是檢查每個城市之間所有可能的路線距離,這是一個階乘並且很快就會失控。

由於這個問題很快會變得非常復雜,因此我們將通過簡短的遞歸函數演示這種復雜性。這個函數會將一個數字去乘以函數自己,然後將數字減去1。階乘中的每個數字都會這樣計算,直到為 0,並且每個遞歸層都會把其乘積添加到原始數字中。

階乘隻是從 1 開始直至該數字的乘積。那麼6!是1x2x3x4x5x6 = 720。

const factorial = n => {
  let num = n;

  if (n === 0) return 1
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    num = n * factorial(n - 1);
  };

  return num;
};
factorial(1); // 2 Milliseconds
factorial(5); // 3 Milliseconds
factorial(10); // 85 Milliseconds
factorial(12); //  11,942 Milliseconds

我原本打算顯示factorial(15),但是 12 以上的值都太多,並且使頁面崩潰瞭,這也證明瞭為什麼需要避免這種情況。

結束語

我們需要編寫高性能的代碼似乎是一個不爭得事實,但是我敢肯定,幾乎每個開發人員都創建過至少兩重甚至三重嵌套循環,因為“它確實有效”。Big O 表示法在表達和考慮復雜性方面是非常必要的,這是我們從未有過的方式。

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