詳解C++實現拓撲排序算法

Posted on 2021-06-11 by WalkonNet

一、拓撲排序的介紹

拓撲排序對應施工的流程圖具有特別重要的作用，它可以決定哪些子工程必須要先執行，哪些子工程要在某些工程執行後才可以執行。為瞭形象地反映出整個工程中各個子工程(活動)之間的先後關系，可用一個有向圖來表示，圖中的頂點代表活動(子工程)，圖中的有向邊代表活動的先後關系，即有向邊的起點的活動是終點活動的前序活動，隻有當起點活動完成之後，其終點活動才能進行。通常，我們把這種頂點表示活動、邊表示活動間先後關系的有向圖稱做頂點活動網(Activity On Vertex network)，簡稱AOV網。

一個AOV網應該是一個有向無環圖，即不應該帶有回路，因為若帶有回路，則回路上的所有活動都無法進行（對於數據流來說就是死循環）。在AOV網中，若不存在回路，則所有活動可排列成一個線性序列，使得每個活動的所有前驅活動都排在該活動的前面，我們把此序列叫做拓撲序列(Topological order)，由AOV網構造拓撲序列的過程叫做拓撲排序(Topological sort)。AOV網的拓撲序列不是唯一的，滿足上述定義的任一線性序列都稱作它的拓撲序列。

二、拓撲排序的實現步驟

1.在有向圖中選一個沒有前驅的頂點並且輸出

2.從圖中刪除該頂點和所有以它為尾的弧（白話就是：刪除所有和它有關的邊）

3.重復上述兩步，直至所有頂點輸出，或者當前圖中不存在無前驅的頂點為止，後者代表我們的有向圖是有環的，因此，也可以通過拓撲排序來判斷一個圖是否有環。

三、拓撲排序示例手動實現

如果我們有如下的一個有向無環圖，我們需要對這個圖的頂點進行拓撲排序，過程如下：

這裡寫圖片描述

首先，我們發現V6和v1是沒有前驅的，所以我們就隨機選去一個輸出，我們先輸出V6，刪除和V6有關的邊，得到如下圖結果：

這裡寫圖片描述

然後，我們繼續尋找沒有前驅的頂點，發現V1沒有前驅，所以輸出V1，刪除和V1有關的邊，得到下圖的結果：

這裡寫圖片描述

然後，我們又發現V4和V3都是沒有前驅的，那麼我們就隨機選取一個頂點輸出（具體看你實現的算法和圖存儲結構），我們輸出V4，得到如下圖結果：

這裡寫圖片描述

然後，我們輸出沒有前驅的頂點V3，得到如下結果：

這裡寫圖片描述

然後，我們分別輸出V5和V2，最後全部頂點輸出完成，該圖的一個拓撲序列為：

v6–>v1—->v4—>v3—>v5—>v2

四、拓撲排序的代碼實現

下面，我們將用兩種方法來實現我麼的拓撲排序：

1.Kahn算法

2.基於DFS的拓撲排序算法

首先我們先介紹第一個算法的思路：

Kahn的算法的思路其實就是我們之前那個手動展示的拓撲排序的實現，我們先使用一個棧保存入度為0 的頂點，然後輸出棧頂元素並且將和棧頂元素有關的邊刪除，減少和棧頂元素有關的頂點的入度數量並且把入度減少到0的頂點也入棧。具體的代碼如下：

bool Graph_DG::topological_sort() {
    cout << "圖的拓撲序列為：" << endl;
    //棧s用於保存棧為空的頂點下標
    stack<int> s;
    int i;
    ArcNode * temp;
    //計算每個頂點的入度，保存在indgree數組中
    for (i = 0; i != this->vexnum; i++) {
        temp = this->arc[i].firstarc;
        while (temp) {
            ++this->indegree[temp->adjvex];
            temp = temp->next;
        }

    }

    //把入度為0的頂點入棧
    for (i = 0; i != this->vexnum; i++) {
        if (!indegree[i]) {
            s.push(i); 
        }
    }
    //count用於計算輸出的頂點個數
    int count=0;
    while (!s.empty()) {//如果棧為空，則結束循環
        i = s.top();
        s.pop();//保存棧頂元素，並且棧頂元素出棧
        cout << this->arc[i].data<<" ";//輸出拓撲序列
        temp = this->arc[i].firstarc;
        while (temp) {
            if (!(--this->indegree[temp->adjvex])) {//如果入度減少到為0，則入棧
                s.push(temp->adjvex);
            }
            temp = temp->next;
        }
        ++count;
    }
    if (count == this->vexnum) {
        cout << endl;
        return true;
    } 
    cout << "此圖有環，無拓撲序列" << endl;
    return false;//說明這個圖有環
}

現在，我們來介紹第二個算法的思路：
其實DFS就是深度優先搜索，它每次都沿著一條路徑一直往下搜索，知道某個頂點沒有瞭出度時，就停止遞歸，往回走，所以我們就用DFS的這個思路，我們可以得到一個有向無環圖的拓撲序列，其實DFS很像Kahn算法的逆過程。具體的代碼實現如下：

bool Graph_DG::topological_sort_by_dfs() {
    stack<string> result;
    int i;
    bool * visit = new bool[this->vexnum];
    //初始化我們的visit數組
    memset(visit, 0, this->vexnum);
    cout << "基於DFS的拓撲排序為：" << endl;
    //開始執行DFS算法
    for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        if (!visit[i]) {
            dfs(i, visit, result);
        }
    }
    //輸出拓撲序列，因為我們每次都是找到瞭出度為0的頂點加入棧中，
    //所以輸出時其實就要逆序輸出，這樣就是每次都是輸出入度為0的頂點
    for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        cout << result.top() << " ";
        result.pop();
    }
    cout << endl;
    return true;
}
void Graph_DG::dfs(int n, bool * & visit, stack<string> & result) {

        visit[n] = true;
        ArcNode * temp = this->arc[n].firstarc;
        while (temp) {
            if (!visit[temp->adjvex]) {
                dfs(temp->adjvex, visit,result);
            }
            temp = temp->next;
        }
        //由於加入頂點到集合中的時機是在dfs方法即將退出之時，
        //而dfs方法本身是個遞歸方法，
        //僅僅要當前頂點還存在邊指向其他不論什麼頂點，
        //它就會遞歸調用dfs方法，而不會退出。
        //因此，退出dfs方法，意味著當前頂點沒有指向其他頂點的邊瞭
        //，即當前頂點是一條路徑上的最後一個頂點。
        //換句話說其實就是此時該頂點出度為0瞭
        result.push(this->arc[n].data);

}

兩種算法總結：

對於基於DFS的算法，增加結果集的條件是：頂點的出度為0。這個條件和Kahn算法中入度為0的頂點集合似乎有著異曲同工之妙，Kahn算法不須要檢測圖是否為DAG，假設圖為DAG，那麼在入度為0的棧為空之後，圖中還存在沒有被移除的邊，這就說明瞭圖中存在環路。而基於DFS的算法須要首先確定圖為DAG，當然也可以做出適當調整，讓環路的檢測測和拓撲排序同一時候進行，畢竟環路檢測也可以在DFS的基礎上進行。

二者的復雜度均為O(V+E)。

五、完整的代碼和輸出展示

topological_sort.h文件的代碼

#pragma once
//#pragma once是一個比較常用的C/C++雜註，
//隻要在頭文件的最開始加入這條雜註，
//就能夠保證頭文件隻被編譯一次。

/*
拓撲排序必須是對有向圖的操作
算法實現：
（1）Kahn算法
（2）DFS算法
采用鄰接表存儲圖
*/
#include<iostream>
#include<string>
#include<stack>
using namespace std;
//表結點
struct ArcNode {
    ArcNode * next; //下一個關聯的邊
    int adjvex;   //保存弧尾頂點在頂點表中的下標
};
struct Vnode {
    string data; //頂點名稱
    ArcNode * firstarc; //第一個依附在該頂點邊
};

class Graph_DG {
private:
    int vexnum; //圖的頂點數
    int edge;   //圖的邊數
    int * indegree; //每條邊的入度情況
    Vnode * arc; //鄰接表
public:
    Graph_DG(int, int);
    ~Graph_DG();
    //檢查輸入邊的頂點是否合法
    bool check_edge_value(int,int);
    //創建一個圖
    void createGraph();
    //打印鄰接表
    void print();
    //進行拓撲排序,Kahn算法
    bool topological_sort();
    //進行拓撲排序，DFS算法
    bool topological_sort_by_dfs();
    void dfs(int n,bool * & visit, stack<string> & result);
};

topological_sort.cpp文件代碼

#include"topological_sort.h"

Graph_DG::Graph_DG(int vexnum, int edge) {
    this->vexnum = vexnum;
    this->edge = edge;
    this->arc = new Vnode[this->vexnum];
    this->indegree = new int[this->vexnum];
    for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        this->indegree[i] = 0;
        this->arc[i].firstarc = NULL;
        this->arc[i].data = "v" + to_string(i + 1);
    }
}
//釋放內存空間
Graph_DG::~Graph_DG() {
    ArcNode * p, *q;
    for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        if (this->arc[i].firstarc) {
            p = this->arc[i].firstarc;
            while (p) {
                q = p->next;
                delete p;
                p = q;
            }
        }
    }
    delete [] this->arc;
    delete [] this->indegree;
}
//判斷我們每次輸入的的邊的信息是否合法
//頂點從1開始編號
bool Graph_DG::check_edge_value(int start, int end) {
    if (start<1 || end<1 || start>vexnum || end>vexnum) {
        return false;
    }
    return true;
}
void Graph_DG::createGraph() {
    int count = 0;
    int start, end;
    cout << "輸入每條起點和終點的頂點編號（從1開始編號）" << endl;
    while (count != this->edge) {
        cin >> start;
        cin >> end;
        //檢查邊是否合法
        while (!this->check_edge_value(start, end)) {
            cout << "輸入的頂點不合法，請重新輸入" << endl;
            cin >> start;
            cin >> end;
        }
        //聲明一個新的表結點
        ArcNode * temp = new ArcNode;
        temp->adjvex = end - 1;
        temp->next = NULL;
        //如果當前頂點的還沒有邊依附時，
        if (this->arc[start - 1].firstarc == NULL) {
            this->arc[start - 1].firstarc = temp;
        }
        else {
            ArcNode * now = this->arc[start - 1].firstarc;
            while(now->next) {
                now = now->next;
            }//找到該鏈表的最後一個結點
            now->next = temp;
        }
        ++count;
    }
}
void Graph_DG::print() {
    int count = 0;
    cout << "圖的鄰接矩陣為：" << endl;
    //遍歷鏈表，輸出鏈表的內容
    while (count != this->vexnum) {
        //輸出鏈表的結點
        cout << this->arc[count].data<<" ";
        ArcNode * temp = this->arc[count].firstarc;
        while (temp) {
            cout<<"<"<< this->arc[count].data<<","<< this->arc[temp->adjvex].data<<"> ";
            temp = temp->next;
        }
        cout << "^" << endl;
        ++count;
    }
}

bool Graph_DG::topological_sort() {
    cout << "圖的拓撲序列為：" << endl;
    //棧s用於保存棧為空的頂點下標
    stack<int> s;
    int i;
    ArcNode * temp;
    //計算每個頂點的入度，保存在indgree數組中
    for (i = 0; i != this->vexnum; i++) {
        temp = this->arc[i].firstarc;
        while (temp) {
            ++this->indegree[temp->adjvex];
            temp = temp->next;
        }

    }

    //把入度為0的頂點入棧
    for (i = 0; i != this->vexnum; i++) {
        if (!indegree[i]) {
            s.push(i); 
        }
    }
    //count用於計算輸出的頂點個數
    int count=0;
    while (!s.empty()) {//如果棧為空，則結束循環
        i = s.top();
        s.pop();//保存棧頂元素，並且棧頂元素出棧
        cout << this->arc[i].data<<" ";//輸出拓撲序列
        temp = this->arc[i].firstarc;
        while (temp) {
            if (!(--this->indegree[temp->adjvex])) {//如果入度減少到為0，則入棧
                s.push(temp->adjvex);
            }
            temp = temp->next;
        }
        ++count;
    }
    if (count == this->vexnum) {
        cout << endl;
        return true;
    } 
    cout << "此圖有環，無拓撲序列" << endl;
    return false;//說明這個圖有環
}
bool Graph_DG::topological_sort_by_dfs() {
    stack<string> result;
    int i;
    bool * visit = new bool[this->vexnum];
    //初始化我們的visit數組
    memset(visit, 0, this->vexnum);
    cout << "基於DFS的拓撲排序為：" << endl;
    //開始執行DFS算法
    for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        if (!visit[i]) {
            dfs(i, visit, result);
        }
    }
    //輸出拓撲序列，因為我們每次都是找到瞭出度為0的頂點加入棧中，
    //所以輸出時其實就要逆序輸出，這樣就是每次都是輸出入度為0的頂點
    for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        cout << result.top() << " ";
        result.pop();
    }
    cout << endl;
    return true;
}
void Graph_DG::dfs(int n, bool * & visit, stack<string> & result) {

        visit[n] = true;
        ArcNode * temp = this->arc[n].firstarc;
        while (temp) {
            if (!visit[temp->adjvex]) {
                dfs(temp->adjvex, visit,result);
            }
            temp = temp->next;
        }
        //由於加入頂點到集合中的時機是在dfs方法即將退出之時，
        //而dfs方法本身是個遞歸方法，
        //僅僅要當前頂點還存在邊指向其他不論什麼頂點，
        //它就會遞歸調用dfs方法，而不會退出。
        //因此，退出dfs方法，意味著當前頂點沒有指向其他頂點的邊瞭
        //，即當前頂點是一條路徑上的最後一個頂點。
        //換句話說其實就是此時該頂點出度為0瞭
        result.push(this->arc[n].data);

}

main.cpp文件：

#include"topological_sort.h"

//檢驗輸入邊數和頂點數的值是否有效，可以自己推算為啥：
//頂點數和邊數的關系是：((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge
bool check(int Vexnum, int edge) {
    if (Vexnum <= 0 || edge <= 0 || ((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge)
        return false;
    return true;
}
int main() {
    int vexnum; int edge;


    cout << "輸入圖的頂點個數和邊的條數：" << endl;
    cin >> vexnum >> edge;
    while (!check(vexnum, edge)) {
        cout << "輸入的數值不合法，請重新輸入" << endl;
        cin >> vexnum >> edge;
    }
    Graph_DG graph(vexnum, edge);
    graph.createGraph();
    graph.print();
    graph.topological_sort();
    graph.topological_sort_by_dfs();
    system("pause");
    return 0;

}

輸入：

6 8

1 2

1 3

1 4

3 2

3 5

4 5

6 4

6 5

輸出：

這裡寫圖片描述

輸入：

13 15

1 2

1 6

1 7

3 1

3 4

4 6

6 5

7 4

7 10

8 7

9 8

10 11

10 12

10 13

12 13

輸出：

這裡寫圖片描述

以上就是詳解C++實現拓撲排序算法的詳細內容，更多關於C++ 拓撲排序算法的資料請關註WalkonNet其它相關文章！

詳解C++實現拓撲排序算法

一、拓撲排序的介紹

二、拓撲排序的實現步驟

三、拓撲排序示例手動實現

四、拓撲排序的代碼實現

五、完整的代碼和輸出展示

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