Python實現最短路徑問題的方法
一、創建圖
在開始之前，我們先創建一個圖，使用鄰接矩陣表示有向網：
class Graph(object):
"""
以鄰接矩陣為存儲結構創建有向網
"""
def __init__(self, kind):
# 圖的類型: 無向圖, 有向圖, 無向網, 有向網
# kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork,
self.kind = kind
# 頂點表
self.vertexs = []
# 邊表, 即鄰接矩陣, 是個二維的
self.arcs = []
# 當前頂點數
self.vexnum = 0
# 當前邊(弧)數
self.arcnum = 0
def CreateGraph(self, vertex_list, edge_list):
"""
創建圖
:param vertex_list: 頂點列表
:param edge_list: 邊列表
:return:
"""
self.vexnum = len(vertex_list)
self.arcnum = len(edge_list)
for vertex in vertex_list:
vertex = Vertex(vertex)
# 頂點列表
self.vertexs.append(vertex)
# 鄰接矩陣, 初始化為無窮
self.arcs.append([float('inf')] * self.vexnum)
for edge in edge_list:
ivertex = self.LocateVertex(edge[0])
jvertex = self.LocateVertex(edge[1])
weight = edge[2]
self.InsertArc(ivertex, jvertex, weight)
def LocateVertex(self, vertex):
"""
定位頂點在鄰接表中的位置
:param vertex:
:return:
"""
index = 0
while index < self.vexnum:
if self.vertexs[index].data == vertex:
return index
else:
index += 1
def InsertArc(self, ivertex, jvertex, weight):
"""
創建鄰接矩陣
:param ivertex:
:param jvertex:
:param weight:
:return:
"""
if self.kind == 'Dinetwork':
self.arcs[ivertex][jvertex] = weight
有關鄰接矩陣中頂點結點
Vertex()的定義可以參考這篇博客，這裡就不在貼出相應的代碼瞭。
二、問題來源
假如我從城市 A A A出發坐火車去其他城市旅遊，那麼如何規劃路線使所花費的車票錢最少呢？若將上述圖中的城市看成有向網中的頂點，並將兩城市之間所需要的車票錢看做對應弧的權值，那麼這一問題的本質就是求兩個頂點之間權值最小的路徑，簡稱最短路徑 ( S h o r t e s t (Shortest (Shortest P a t h ) Path) Path)。
三、Dijkstra算法
D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法，中文名叫迪傑斯特拉算法，它常用於求解源點到其餘頂點的最短路徑。
假設 G = { V , { A } } G=\{V, \{A\}\} G={V,{A}}是含有 n n n個頂點的有向網，以該圖中的頂點 v v v為源點，使用 D i j k s t r a
Dijkstra Dijkstra算法求頂點 v v v到圖中其餘各頂點的最短路徑的基本思路如下：
(1) 使用集合 S S S記錄已求得最短路徑的終點，初始時 S = { v } S=\{v\} S={v}；
(2) 選擇一條長度最短的路徑，該路徑的終點 w ∈ V − S w\in V-S w∈V−S，將 w w w並入 S S S，並將該最短路徑的長度記為 D w D_w Dw；
(3) 對於 V − S V-S V−S中任一頂點 s s s，將源點到頂點 s s s的最短路徑長度記為 D s D_s Ds，並將頂點 w w w到頂點 s s s的弧的權值記為 D w s D_{ws} Dws，若 D w + D w s < D s D_w+D_{ws}<D_s Dw+Dws<Ds，則將源點到頂點 s s s的最短路徑的長度修改為 D w + D w s D_w+D_{ws} Dw+Dws；
(4) 重復執行上述操作，直到 S = V S=V S=V。
D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法有些 P r i m Prim Prim算法的影子，這裡使用一個輔助列表Dist，用來存儲源點到每一個終點的最短路徑長度，列表Path來存儲每一條最短路徑中倒數第二個頂點的下標(弧尾下標)，除此之外還需要一個列表flag來記錄頂點是否已求得最短路徑。下面結合著 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法來分析一下上面的那個有向網：
(1) 這裡要做的就是更新列表Dist和列表Path，假如以頂點 A A A為起始點，先將它加入 S S S中，然後尋找以頂點 A A A為弧尾的最短路徑，這裡找到瞭頂點 B B B，然後繼續找下一個頂點。這個時候就要做一個判斷瞭，即 D w + D w s < D s D_w+D_{ws}<D_s Dw+Dws<Ds是否成立，這裡的頂點 s s s有兩種選擇，要麼是頂點 C C C，要麼是頂點 D D D，因為這兩個頂點都是以頂點 w w w(即頂點 B B B)為弧尾，按照順序，這個時候先選擇瞭頂點 C C C，經判斷： D A B + D B C < D A C D_{AB}+D_{BC}<D_{AC} DAB+DBC<DAC(即 4 + 3 = 7 < 8 4+3=7<8 4+3=7<8)成立，然後更新源點到頂點 s s s(即頂點 C C C)的距離為7。這個時候頂點 s s s又選擇瞭頂點 D D D，經判斷： D A B + D B D < D A D D_{AB}+D_{BD}<D_{AD} DAB+DBD<DAD(即 4 + 8 = 12 < ∞ 4+8=12<\infty 4+8=12<∞)成立，然後更新源點到頂點 s s s(即頂點 D D D)的距離為12。
(2) 然後尋找以頂點 C C C為弧尾的最短路徑，這裡找到瞭頂點 E E E，然後做一個路徑長度判斷，經判斷： D A C + D C E < D A E D_{AC}+D_{CE}<D_{AE} DAC+DCE<DAE(即 7 + 1 = 8 < ∞ 7+1=8<\infty 7+1=8<∞)成立，然後更新源點到頂點 s s s(即頂點 E E E)的距離為8，然後又找到瞭頂點 F F F，然後做一個路徑長度判斷，經判斷： D A C + D C F < D A F D_{AC}+D_{CF}<D_{AF} DAC+DCF<DAF(即 7 + 6 = 13 < ∞ 7+6=13<\infty 7+6=13<∞)成立，然後更新源點到頂點 s s s(即頂點 F F F)的距離為13。
(3) 直至計算出所有源點到其餘頂點的距離。
D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法代碼實現如下：
def Dijkstra(self, Vertex):
"""
Dijkstra算法, 計算源點Vertex到其餘各頂點的最短距離
:param Vertex:
:return:
"""
# 源點到每一個終點的最短路徑長度
Dist = []
# 每一條最短路徑中倒數第二個頂點的下標(弧尾下標)
Path = []
# 記錄頂點是否已求得最短路徑
flag = [False] * self.vexnum
index = 0
while index < self.vexnum:
Dist.append(self.arcs[Vertex][index])
if self.arcs[Vertex][index] < float('inf'):
# 存放弧尾下標
Path.append(Vertex)
else:
Path.append(-1)
index += 1
# 以頂點Vertex為源點
Dist[Vertex] = 0
Path[Vertex] = 0
flag[Vertex] = True
index = 1
while index < self.vexnum:
minDist = float('inf')
# 尋找源點到下一個頂點wVertex的最短路徑
for i in range(self.vexnum):
if not flag[i] and Dist[i] < minDist:
wVertex = i
minDist = Dist[i]
flag[wVertex] = True
sVertex = 0
minDist = float('inf')
# 更新源點到終點sVertex的最短路徑
while sVertex < self.vexnum:
if not flag[sVertex]:
if self.arcs[wVertex][sVertex] < minDist and \
Dist[wVertex] + self.arcs[wVertex][sVertex] < Dist[sVertex]:
# 距離更新
Dist[sVertex] = Dist[wVertex] + self.arcs[wVertex][sVertex]
Path[sVertex] = wVertex
sVertex += 1
index += 1
# 輸出信息
self.ShortestPathDijkstra(Vertex, Dist, Path)
def ShortestPathDijkstra(self, Vertex, Dist, Path):
"""
輸出從頂點Vertex到其餘頂點的最短路徑
:param Vertex:
:param Dist:
:param Path:
:return:
"""
tPath = []
index = 0
while index < self.vexnum:
# index是路徑終點
if index != Vertex:
print('頂點' + self.vertexs[Vertex].data + '到達頂點' + self.vertexs[index].data + '的路徑及長度為:')
# 從源點Vertex到終點index中間有可能經過瞭多個頂點
tPath.append(index)
former = Path[index]
while former != Vertex:
tPath.append(former)
former = Path[former]
tPath.append(Vertex)
while len(tPath) > 0:
print(self.vertexs[tPath.pop()].data, end='')
print('\t\t%d' % Dist[index])
index += 1
四、Floyd算法
F l o y d Floyd Floyd算法，中文名叫弗洛伊德算法，它常用於求解求解每一對頂點之間的最短路徑。
假設 G = { V , { A } } G=\{V, \{A\}\} G={V,{A}}是含有 n n n個頂點的有向網，使用 F l o y d Floyd Floyd算法求圖中每一對頂點間的最短路徑的基本思路如下：
(1) 對於圖 G G G中任意兩個頂點 v v v和 w w w，將頂點 v v v和頂點 w w w的最短路徑的長度記為 D v w D_{vw} Dvw，並依次判斷其餘各頂點是否為這兩個頂點間最短路徑上的頂點。對於除瞭頂點 v v v和頂點頂點 w w w的任意頂點 u u u，將頂點 v v v和頂點 u u u的最短路徑的長度記為 D v u D_{vu} Dvu，並頂點 u u u和頂點 w w w的最短路徑的長度記為 D u w D_{uw} Duw，若 D v u + D u w < D v w D_{vu}+D_{uw}<D_{vw} Dvu+Duw<Dvw，則將 D v w D_{vw} Dvw的值修改為 D v u + D u w D_{vu}+D_{uw} Dvu+Duw，即頂點 v v v和頂點 w w w的最短路徑經過頂點 u u u；
(2) 重復上述過程，直至圖中每一頂點間的最短路徑都被求出。
當然瞭，也可以對每個頂點使用 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法來求得每對頂點的最短路徑。對於 F l o y d Floyd Floyd算法，這裡使用一個輔助二維數組Dist，用來存儲源點到每一對頂點間的最短路徑長度，二維數組Path來存儲每一條最短路徑中倒數第二個頂點的下標(弧尾下標)。下面結合著 F l o y d Floyd Floyd算法來分析一下最上面的那個有向網（由於頂點對較多，這裡選擇 A − I A-I A−I的最短路徑進行說明）：
F l o y d Floyd Floyd算法代碼實現如下：
def Floyd(self):
"""
Floyd算法, 計算每一對頂點間的最短距離
:return:
"""
Dist = [[0 for _ in range(self.vexnum)] for _ in range(self.vexnum)]
Path = [[0 for _ in range(self.vexnum)] for _ in range(self.vexnum)]
for row in range(self.vexnum):
for column in range(self.vexnum):
Dist[row][column] = self.arcs[row][column]
if self.arcs[row][column] < float('inf') and row != column:
Path[row][column] = row
else:
Path[row][column] = -1
# 判斷圖中任意兩個頂點的最短路徑是否經過瞭結點uVertex
for uVertex in range(self.vexnum):
for vVertex in range(self.vexnum):
for wVertex in range(self.vexnum):
if vVertex != wVertex and \
Dist[vVertex][uVertex] + Dist[uVertex][wVertex] < Dist[vVertex][wVertex]:
Dist[vVertex][wVertex] = Dist[vVertex][uVertex] + Dist[uVertex][wVertex]
Path[vVertex][wVertex] = Path[uVertex][wVertex]
# 輸出每一組頂點間的最短路徑
self.ShortestPathFloyd(Dist, Path)
def ShortestPathFloyd(self, Dist, Path):
"""
輸出每一組頂點間的最短路徑
:param Dist:
:param Path:
:return:
"""
tPath = []
for start in range(self.vexnum):
for end in range(self.vexnum):
if start != end and Dist[start][end] < float('inf'):
print('從頂點' + self.vertexs[start].data + '到頂點' + self.vertexs[end].data +
'的路徑及長度為:')
tVertex = Path[start][end]
tPath.append(end)
while tVertex != -1 and tVertex != start:
tPath.append(tVertex)
tVertex = Path[start][tVertex]
tPath.append(start)
while len(tPath) > 0:
print(self.vertexs[tPath.pop()].data, end='')
print('\t\t%d' % Dist[start][end])
五、代碼測試
測試代碼如下：
if __name__ == '__main__':
graph = Graph(kind='Dinetwork')
graph.CreateGraph(vertex_list=['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'],
edge_list=[('A', 'B', 4), ('A', 'C', 8), ('B', 'C', 3), ('B', 'D', 8),
('C', 'E', 1), ('C', 'F', 6), ('D', 'G', 7), ('D', 'H', 4),
('E', 'D', 2), ('E', 'F', 6), ('F', 'H', 2), ('G', 'I', 9),
('H', 'G', 14), ('H', 'I', 10)])
print('{:*^30}'.format('Dijkstra算法'))
# 起始位置的index為0
graph.Dijkstra(0)
print('{:*^30}'.format('Floyd算法'))
graph.Floyd()
測試結果如下：
這裡隻看瞭一條，就是從頂點 A A A到頂點 I I I的路徑，可以看到 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法和 F l o y d Floyd Floyd算法求得的最短路徑都是24。
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