通俗易懂的C++前綴和與差分算法圖文示例詳解
1、前綴和
前綴和是指某序列的前n項和，可以把它理解為數學上的數列的前n項和，而差分可以看成前綴和的逆運算。合理的使用前綴和與差分，可以將某些復雜的問題簡單化。
2、前綴和算法有什麼好處？
先來瞭解這樣一個問題：
輸入一個長度為n的整數序列。接下來再輸入m個詢問，每個詢問輸入一對l, r。對於每個詢問，輸出原序列中從第l個數到第r個數的和。
我們很容易想出暴力解法，遍歷區間求和。
代碼如下：
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
while(m--)
{
int l,r;
int sum=0;
scanf("%d%d",&l,&r);
for(int i=l;i<=r;i++)
{
sum+=a[i];
}
printf("%d\n",sum);
}
這樣的時間復雜度為O(n*m)，如果n和m的數據量稍微大一點就有可能超時，而我們如果使用前綴和的方法來做的話就能夠將時間復雜度降到O(n+m),大大提高瞭運算效率。
具體做法：
首先做一個預處理，定義一個sum[]數組，sum[i]代表a數組中前i個數的和。
求前綴和運算：
const int N=1e5+10;
int sum[N],a[N]; //sum[i]=a[1]+a[2]+a[3].....a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
然後查詢操作：
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n", sum[r]-sum[l-1]);
對於每次查詢，隻需執行sum[r]-sum[l-1] ，時間復雜度為O(1)
原理
sum[r] =a[1]+a[2]+a[3]+a[l-1]+a[l]+a[l+1]……a[r];
sum[l-1]=a[1]+a[2]+a[3]+a[l-1];
sum[r]-sum[l-1]=a[l]+a[l+1]+……+a[r];
圖解
這樣，對於每個詢問，隻需要執行 sum[r]-sum[l-1]。輸出原序列中從第l個數到第r個數的和的時間復雜度變成瞭O(1)。
我們把它叫做一維前綴和。
總結：
練習一道題目
輸入一個長度為n的整數序列。
接下來再輸入m個詢問，每個詢問輸入一對l, r。
對於每個詢問，輸出原序列中從第l個數到第r個數的和。
輸入格式
第一行包含兩個整數n和m。
第二行包含n個整數，表示整數數列。
接下來m行，每行包含兩個整數l和r，表示一個詢問的區間范圍。
輸出格式
共m行，每行輸出一個詢問的結果。
數據范圍
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤數列中元素的值≤1000
輸入樣例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
輸出樣例：
3
610
代碼：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int a[N], s[N];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 前綴和的初始化
while (m -- )
{
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]); // 區間和的計算
}
return 0;
}
3、二維前綴和
如果數組變成瞭二維數組怎麼辦呢？
先給出問題：
輸入一個n行m列的整數矩陣，再輸入q個詢問，每個詢問包含四個整數x1, y1, x2, y2，表示一個子矩陣的左上角坐標和右下角坐標。對於每個詢問輸出子矩陣中所有數的和。
同一維前綴和一樣，我們先來定義一個二維數組s[][], s[i][j]表示二維數組中，左上角(1,1)到右下角( i,j )所包圍的矩陣元素的和。接下來推導二維前綴和的公式。
先看一張圖：
紫色面積是指(1,1)左上角到(i,j-1)右下角的矩形面積, 綠色面積是指(1,1)左上角到(i-1, j )右下角的矩形面積。每一個顏色的矩形面積都代表瞭它所包圍元素的和。
從圖中我們很容易看出，整個外圍藍色矩形面積s[i][j] = 綠色面積s[i-1][j] + 紫色面積s[i][j-1] – 重復加的紅色的面積s[i-1][j-1]+小方塊的面積a[i][j];
因此得出二維前綴和預處理公式
s[i] [j] = s[i-1][j] + s[i][j-1 ] + a[i] [j] – s[i-1][ j-1]
接下來回歸問題去求以(x1,y1)為左上角和以(x2,y2)為右下角的矩陣的元素的和。
如圖：
紫色面積是指 ( 1,1 )左上角到(x1-1,y2)右下角的矩形面積 ，黃色面積是指(1,1)左上角到(x2,y1-1)右下角的矩形面積；
不難推出：
綠色矩形的面積 = 整個外圍面積s[x2, y2] – 黃色面積s[x2, y1 - 1] – 紫色面積s[x1 - 1, y2] + 重復減去的紅色面積 s[x1 - 1, y1 - 1]
因此二維前綴和的結論為：
以(x1, y1)為左上角，(x2, y2)為右下角的子矩陣的和為：
s[x2, y2] – s[x1 – 1, y2] – s[x2, y1 – 1] + s[x1 – 1, y1 – 1]
總結：
練習一道完整題目：
輸入一個n行m列的整數矩陣，再輸入q個詢問，每個詢問包含四個整數x1, y1, x2, y2，表示一個子矩陣的左上角坐標和右下角坐標。
對於每個詢問輸出子矩陣中所有數的和。
輸入格式
第一行包含三個整數n，m，q。
接下來n行，每行包含m個整數，表示整數矩陣。
接下來q行，每行包含四個整數x1, y1, x2, y2，表示一組詢問。
輸出格式
共q行，每行輸出一個詢問的結果。
數據范圍
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩陣內元素的值≤1000
輸入樣例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
輸出樣例：
17
27
21
代碼：
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1010;
int a[N][N],s[N][N];
int main()
{
int n,m,q;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]+a[i][j]-s[i-1][j-1];
while(q--)
{
int x1,y1,x2,y2;
scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);
}
return 0;
}
4、差分
5、一維差分
類似於數學中的求導和積分，差分可以看成前綴和的逆運算。
差分數組：
首先給定一個原數組a：a[1], a[2], a[3],,,,,, a[n];
然後我們構造一個數組b ： b[1] ,b[2] , b[3],,,,,, b[i];
使得 a[i] = b[1] + b[2 ]+ b[3] +,,,,,, + b[i]
也就是說，a數組是b數組的前綴和數組，反過來我們把b數組叫做a數組的差分數組。換句話說，每一個a[i]都是b數組中從頭開始的一段區間和。
考慮如何構造差分b數組？
最為直接的方法
如下：
a[0 ]= 0;
b[1] = a[1] – a[0];
b[2] = a[2] – a[1];
b[3] =a [3] – a[2];
……..
b[n] = a[n] – a[n-1];
圖示:
我們隻要有b數組，通過前綴和運算，就可以在O(n) 的時間內得到a數組 。
知道瞭差分數組有什麼用呢？ 別著急，慢慢往下看。
話說有這麼一個問題：
給定區間[l ,r ]，讓我們把a數組中的[ l, r]區間中的每一個數都加上c,
即 a[l] + c , a[l+1] + c , a[l+2] + c ,,,,,, a[r] + c;
暴力做法是for循環l到r區間，時間復雜度O(n)，如果我們需要對原數組執行m次這樣的操作，時間復雜度就會變成O(n*m)。有沒有更高效的做法嗎? 考慮差分做法，(差分數組派上用場瞭)。
始終要記得，a數組是b數組的前綴和數組，比如對b數組的b[i]的修改，會影響到a數組中從a[i]及往後的每一個數。
首先讓差分b數組中的 b[l] + c ,通過前綴和運算，a數組變成 a[l] + c ,a[l+1] + c,,,,,, a[n] + c;
然後我們打個補丁，b[r+1] - c, 通過前綴和運算，a數組變成 a[r+1] – c,a[r+2] – c,,,,,,,a[n] – c;
為啥還要打個補丁？
我們畫個圖理解一下這個公式的由來:
b[l] + c，效果使得a數組中 a[l]及以後的數都加上瞭c(紅色部分)，但我們隻要求l到r區間加上c, 因此還需要執行 b[r+1] - c,讓a數組中a[r+1]及往後的區間再減去c(綠色部分)，這樣對於a[r] 以後區間的數相當於沒有發生改變。
因此我們得出一維差分結論：給a數組中的[ l, r]區間中的每一個數都加上c,隻需對差分數組b做 b[l] + = c, b[r+1] - = c。時間復雜度為O(1), 大大提高瞭效率。
總結：
題目練習： AcWing 797. 差分
輸入一個長度為n的整數序列。
接下來輸入m個操作，每個操作包含三個整數l, r, c，表示將序列中[l, r]之間的每個數加上c。
請你輸出進行完所有操作後的序列。
輸入格式
第一行包含兩個整數n和m。
第二行包含n個整數，表示整數序列。
接下來m行，每行包含三個整數l，r，c，表示一個操作。
輸出格式
共一行，包含n個整數，表示最終序列。
數據范圍
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整數序列中元素的值≤1000
輸入樣例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
輸出樣例：
3 4 5 3 4 2
AC代碼
//差分 時間復雜度 o(m)
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N],b[N];
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
b[i]=a[i]-a[i-1]; //構建差分數組
}
int l,r,c;
while(m--)
{
scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
b[l]+=c; //表示將序列中[l, r]之間的每個數加上c
b[r+1]-=c;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
b[i]+=b[i-1]; //求前綴和運算
printf("%d ",b[i]);
}
return 0;
}
6、二維差分
如果擴展到二維，我們需要讓二維數組被選中的子矩陣中的每個元素的值加上c,是否也可以達到O(1)的時間復雜度。答案是可以的，考慮二維差分。
a[][]數組是b[][]數組的前綴和數組，那麼b[][]是a[][]的差分數組
原數組： a[i][j]
我們去構造差分數組： b[i][j]
使得a數組中a[i][j]是b數組左上角(1,1)到右下角(i,j)所包圍矩形元素的和。
如何構造b數組呢？
其實關於差分數組，我們並不用考慮其構造方法，因為我們使用差分操作在對原數組進行修改的過程中，實際上就可以構造出差分數組。
同一維差分，我們構造二維差分數組目的是為瞭 讓原二維數組a中所選中子矩陣中的每一個元素加上c的操作，可以由O(n*n)的時間復雜度優化成O(1)
已知原數組a中被選中的子矩陣為 以(x1,y1)為左上角，以(x2,y2)為右上角所圍成的矩形區域;
始終要記得，a數組是b數組的前綴和數組，比如對b數組的b[i][j]的修改，會影響到a數組中從a[i][j]及往後的每一個數。
假定我們已經構造好瞭b數組，類比一維差分，我們執行以下操作
來使被選中的子矩陣中的每個元素的值加上c
b[x1][y1] + = c;
b[x1,][y2+1] – = c;
b[x2+1][y1] – = c;
b[x2+1][y2+1] + = c;
每次對b數組執行以上操作，等價於：
for(int i=x1;i<=x2;i++)
for(int j=y1;j<=y2;j++)
a[i][j]+=c;
我們畫個圖去理解一下這個過程：
b[x1][ y1 ] +=c ; 對應圖1 ,讓整個a數組中藍色矩形面積的元素都加上瞭c。
b[x1,][y2+1]-=c ; 對應圖2 ,讓整個a數組中綠色矩形面積的元素再減去c，使其內元素不發生改變。
b[x2+1][y1]- =c ; 對應圖3 ,讓整個a數組中紫色矩形面積的元素再減去c，使其內元素不發生改變。
b[x2+1][y2+1]+=c; 對應圖4,讓整個a數組中紅色矩形面積的元素再加上c，紅色內的相當於被減瞭兩次，再加上一次c，才能使其恢復。
我們將上述操作封裝成一個插入函數:
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{ //對b數組執行插入操作，等價於對a數組中的(x1,y1)到(x2,y2)之間的元素都加上瞭c
b[x1][y1]+=c;
b[x2+1][y1]-=c;
b[x1][y2+1]-=c;
b[x2+1][y2+1]+=c;
}
我們可以先假想a數組為空，那麼b數組一開始也為空，但是實際上a數組並不為空，因此我們每次讓以(i,j)為左上角到以(i,j)為右上角面積內元素(其實就是一個小方格的面積)去插入 c=a[i][j]，等價於原數組a中(i,j) 到(i,j)范圍內 加上瞭 a[i][j] ,因此執行n*m次插入操作，就成功構建瞭差分b數組.
這叫做曲線救國。
代碼如下：
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
insert(i,j,i,j,a[i][j]); //構建差分數組
}
}
當然關於二維差分操作也有直接的構造方法，公式如下：
b[i][j]=a[i][j]−a[i−1][j]−a[i][j−1]+a[i−1][j−1]
二維差分數組的構造同一維差分思維相同，因次在這裡就不再展開敘述瞭。
總結：
題目練習： AcWing 798. 差分矩陣
輸入一個n行m列的整數矩陣，再輸入q個操作，每個操作包含五個整數x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一個子矩陣的左上角坐標和右下角坐標。
每個操作都要將選中的子矩陣中的每個元素的值加上c。
請你將進行完所有操作後的矩陣輸出。
輸入格式
第一行包含整數n,m,q。
接下來n行，每行包含m個整數，表示整數矩陣。
接下來q行，每行包含5個整數x1, y1, x2, y2, c，表示一個操作。
輸出格式
共 n 行，每行 m 個整數，表示所有操作進行完畢後的最終矩陣。
數據范圍
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩陣內元素的值≤1000
輸入樣例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
輸出樣例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
AC代碼：
include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int a[N][N],b[N][N];
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
b[x1][y1]+=c;
b[x2+1][y1]-=c;
b[x1][y2+1]-=c;
b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main()
{
int n,m,q;
cin>>n>>m>>q;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
cin>>a[i][j];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
insert(i,j,i,j,a[i][j]); //構建差分數組
}
}
while(q--)
{
int x1,y1,x2,y2,c;
cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
insert(x1,y1,x2,y2,c);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
printf("%d ",b[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
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