C++實現AVL樹的基本操作指南
AVL樹的概念
二叉搜索樹雖可以縮短查找的效率,但如果數據有序或接近有序二叉搜索樹將退化為單支樹,查找元素相當於在順序表中搜索元素,效率低下。因此,兩位俄羅斯的數學傢G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年發明瞭一種解決上述問題的方法:當向二叉搜索樹中插入新結點後,如果能保證每個結點的左右子樹高度之差的絕對值不超過1(需要對樹中的結點進行調整),即可降低樹的高度,從而減少平均搜索長度。
一棵AVL樹或者是空樹,或者是具有以下性質的二叉搜索樹:
- 它的左右子樹都是AVL樹
- 左右子樹高度之差(簡稱平衡因子)的絕對值不超過1(-1/0/1)
- 平衡因子的計算是右子樹的高度減去左子樹的高度的差值結果
如果一棵二叉搜索樹是高度平衡的,它就是AVL樹。如果它有n個結點,其高度可保持在O(log N) ,搜索時間復雜度O( log N)。
AVL樹節點的定義
template<class K, class V> struct AVLTreeNode { AVLTreeNode<K, V>* _left; //左孩子 AVLTreeNode<K, V>* _right; //右孩子 AVLTreeNode<K, V>* _parent; //父親結點 pair<K, V> _Kv; //鍵值 int _bf; //平衡因子 //構造函數 AVLTreeNode(const pair<K, V>& Kv) :_left(nullptr) ,_right(nullptr) ,_parent(nullptr) ,_Kv(Kv) ,_bf(0) { } };
AVL樹的定義
template<class K, class V> class AVLTree { typedef AVLTreeNode<K, V> Node; public: AVLTree() :_root(nullptr) {} private: Node* _root; };
AVL樹的插入
AVL樹就是在二叉搜索樹的基礎上引入瞭平衡因子,因此AVL樹也可以看成是二叉搜索樹。那麼AVL樹的插入
過程可以分為兩步:
按照二叉搜索樹的方式插入新節點
與根結點比較如果比根大就往右子樹插入,如果比根小就往左子樹插入,直到走到合適的位置就插入,由於這裡是三叉鏈所以需要處理結點之間的關聯關系
bool Insert(const pair<K, V> &kv) { if (!_root) _root = new Node(kv); //初始根節點 Node* cur = _root; Node* parent = _root; while (cur) { K key = cur->_Kv.first; if (key > kv.first) //比根結點的key值小, { parent = cur; cur = cur->_left; } else if(key < kv.first)//比根結點的key值大, { parent = cur; cur = cur->_right; } else { return false; //插入失敗 } } //開始插入 cur = new Node(kv); Node* newNode = cur; if (parent->_Kv.first > newNode->_Kv.first) //新插入的結點key值比根節點小就插入到左子樹 { parent->_left = newNode; newNode->_parent = parent; } else //新插入的結點key值比根節點大就插入到右子樹 { parent->_right = newNode; newNode->_parent = parent; } }
調整節點的平衡因子
當左右子樹的高度發生瞭變化,那麼就需要對父親及祖先路徑上的所有結點的平衡因子進行調整
//更新祖先路徑的所以結點的平衡因子 /* 總結五種情況: 1、新增結點出現在父結點的左邊,平衡因子減減 2、新增結點出現在父結點的右邊,平衡因子加加 3、父親的平衡因子為0就不再調整 4、父親結點的平衡因子為1或者-1繼續調整 5、父親結點的平衡因子為2或者-2那就旋轉 */ while (parent) { if (parent->_left == cur) parent->_bf--; //1、 if (parent->_right == cur) parent++; //2、 if (parent->_bf == 0) break; //3、 if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)//4、 { cur = parent; parent = parent->_parent; } if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2) //5、 { //旋轉 if (parent->_bf == -2) { if (cur->_bf == -1) RotateR(parent); //左邊高,右單旋 else RotateLR(parent); //左右雙旋 } else //右 parent->_bf == 2 { if (cur->_bf == 1) RotateL(parent);//右邊高左單旋轉 else RotateRL(parent); //右左雙旋 } break; } }
AVL樹的四種旋轉
旋轉的原則是遵循搜索樹的規則,盡量讓兩邊平衡
如果在一棵原本是平衡的AVL樹中插入一個新節點,可能造成不平衡,此時必須調整樹的結構,使之平衡化。根據節點插入位置的不同,AVL樹的旋轉分為四種:
右單旋
新節點插入較高左子樹的左側—左左:右單旋
不管是哪種單旋都得考慮兩種情況:
1、局部旋轉,如果parent並不是樹的_root結點,那麼就需要調整subL和根結點的關系
2、獨立旋轉,parent就是樹的_root結點,那麼subL就是旋轉後的根節點瞭
3、subLR有可能為null
//右單旋 void RotateR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; parent->_left = subLR; if (subLR) subLR->_parent = parent; //防止subLR為nullptr subL->_right = parent; Node* parent_parent = parent->_p arent; //指針備份 parent->_parent = subL; if (_root == parent) //如果parent就是樹的根 { _root = subL; //subL取代parent _root->_parent = nullptr; } else //如果parent並不是樹的根 { if (parent_parent->_left == parent) parent->_left = subL; else parent_parent->_right = subL; subL->_parent = parent_parent; //subL去做parent_parent的孩子 } //調節平衡因子 subL->_bf = parent->_bf = 0; }
左單旋
新節點插入較高右子樹的右側—右右:左單旋
跟右單旋幾乎是一樣的做法
1、局部旋轉,如果parent並不是樹的_root結點,那麼就需要調整subL和根結點的關系
2、獨立旋轉,parent就是樹的_root結點,那麼subL就是旋轉後的根節點瞭
3、subRL有可能為null
//左單旋 void RotateL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; parent->_right = subRL; if (subRL) subRL->_parent = parent; subR->_left = parent; Node* parent_parent = parent->_parent; parent->_parent = subR; if (_root == parent) { _root = subR; _root->_parent = nullptr; } else { if (parent_parent->_left == parent) parent_parent->_left = subR; else parent_parent->_right = subR; subR->_parent = parent_parent; } subR->_bf = parent->_bf = 0; }
左右雙旋
新節點插入較高左子樹的右側—左右:先左單旋再右單旋
1、新增結點在b或c都會影響左右子樹的高度,從而引發雙旋
h > 0情況一:
h > 0,情況二:
h == 0情況三:
//左右旋轉 void RotateLR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf; RotateL(parent->_left); RotateR(parent); if (bf == -1) //h > 0,新增結點在b { parent->_bf = 1; subLR->_bf = 0; subL->_bf = 0; } else if (bf == 1) //h > 0,新增結點在c { subL->_bf = -1; subLR->_bf = 0; parent->_bf = 0; } else if(bf == 0) //h = 0 { parent->_bf = 0; subLR->_bf = 0; subL->_bf = 0; } }
右左雙旋
右左雙旋跟左右雙旋的情況基本是類似的,這裡就不列舉多種情況瞭
新節點插入較高右子樹的左側—右左:先右單旋再左單旋
//右左旋轉 void RotateRL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; RotateR(parent->_right); RotateL(parent); if (bf == -1) //h > 0,新增結點在b { parent->_bf = 0; subR->_bf = 1; subRL->_bf = 0; } else if (bf == 1) //h > 0,新增結點在c { parent->_bf = -1; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } else if (bf == 0)//h = 0 { subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; parent->_bf = 0; } }
查找
Node* Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (key > cur->_Kv.first) cur = cur->_right; //左子樹 else if (key < cur->_Kv.first) cur = cur->_left; //右子樹 else return cur; } }
其他接口
判斷是不是平衡二叉樹
int height(Node* root) //求高度 { return !root ? 0 : max(height(root->_left), height(root->_right)) + 1; } void _Inorder(Node* root)//中序遍歷 { if (!root) return; _Inorder(root->_left); printf("%d : %d\n",root->_Kv.first, root->_Kv.second); _Inorder(root->_right); } //判斷是不是平衡二叉樹 bool IsAVLTree() { return _IsAVLTree(_root); } bool _IsAVLTree(Node* root) { if (!root) return true; int left = height(root->_left); int right = height(root->_right); //檢查平衡因子 if (right - left != root->_bf) { printf("錯誤的平衡因子 %d :%d\n", root->_Kv.first, root->_Kv.second); return false; } return (abs(right - left) < 2) && _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right); }
析構函數
//析構函數 ~AVLTree() { Destroy(_root); _root = nullptr; } void Destroy(Node *root)//後序銷毀結點 { if (!root) return; Destroy(root->_left); Destroy(root->_right); delete root; }
拷貝構造
Node* copy(Node* cp) { if (!cp) return nullptr; Node* newnode = new Node(cp->_Kv); newnode->_left = copy(cp->_left); newnode->_right = copy(cp->_right); return newnode; } //拷貝構造 AVLTree(const AVLTree<K, V>& job) { if(&job != this) _root = copy(job._root); }
拷貝賦值
void operator=(AVLTree<K, V> tmp) { if (&tmp != this) swap(tmp._root, this->_root); }
重載operator[ ]
V& operator[](const K& key) { return (Insert(make_pair(key, V())).first)->_Kv.second; }
AVL樹的完整實現代碼博主已經放在 git.
總結
到此這篇關於C++實現AVL樹的文章就介紹到這瞭,更多相關C++實現AVL樹內容請搜索WalkonNet以前的文章或繼續瀏覽下面的相關文章希望大傢以後多多支持WalkonNet!
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