C++AVL樹4種旋轉詳講(左單旋、右單旋、左右雙旋、右左雙旋)

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引子：AVL樹是因為什麼出現的？

二叉搜索樹可以縮短查找的效率，如果數據有序或接近有序二叉搜索樹將退化為單支樹，查找元素相當於在順序表中搜索元素，效率低下時間復雜度：O(N)

兩位俄羅斯的數學傢G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年 發明瞭一種解決上述問題的方法：當向二叉搜索樹中插入新結點後，如果能保證每個結點的左右子樹高度之差的絕對值不超過1(對樹中的結點進行調整),即為AVl樹以他們的名字縮寫命名也可以叫高度二叉搜索樹

1.AVl樹的的特性

一棵AVL樹或者是空樹，或者是具有以下性質的二叉搜索樹，它就是AVL樹。

  • 它的左右子樹都是AVL樹
  • 左右子樹高度之差(簡稱平衡因子)的絕對值不超過1(-1/0/1)，節點右子樹最長路徑-左子樹最長路徑

如果AVl樹有n個結點，其高度可保持在O(logN) ，搜索時間復雜度O(logN),為什麼？

答：左右子樹高度之差的絕對值不超過1，那麼隻有最後一層會差一部分的節點；

2.AVl樹的框架

template<class K, class V>
struct AVLtreeNode
{
    //節點構造函數
	AVLtreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
		,_kv(kv)
	{}
    //節點的成員
    //三叉鏈
	AVLtreeNode<K, V>* _left;
	AVLtreeNode<K, V>* _right;
	AVLtreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf;//平衡因子
    //數據使用庫裡面的pair類存儲的kv
	pair<K, V> _kv;
};
template<class K,class V>
class AVLtree
{
	typedef AVLtreeNode<K, V> Node;
public:
    //構造函數
	AVLtree()
		:_root(nullptr)
	{}
    //四種旋轉
	void RotateL(Node* parent)
	void RotateR(Node* parent)
	void RotateLR(Node* parent)
	void RotateRL(Node* parent)
    //插入
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
    //尋找
	Node* Find(const K& kv)
private:
	Node* _root;
};

三叉鏈是什麼？

3.AVL樹的插入 

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = _root, *cur = _root;
		while (cur)
		{
			//找nulptr，如果已經有這個key瞭，二叉搜索樹的特性不支持冗餘，所以返回失敗
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first <kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		//
		cur = new Node(kv);
		//判斷孩子在父親的左邊還是右邊
		if (cur->_kv.first > parent->_kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		while (parent)
		{
			//影響一條路徑所有的祖先
			if (parent->_right == cur)
				parent->_bf++;
			else
				parent->_bf--;
			
			if (parent->_bf == 0)
			{
				//左右平衡瞭不會再影響祖先瞭
				break;
			}
			if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//當前節點所在子樹變瞭，會影響父親
				// 繼續往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//parent所在子樹已經不平衡，需要旋轉處理一下
				if (parent->_bf == -2)
				{
					if (cur->_bf == -1)
						// 右單旋
						RotateR(parent);
					else // cur->_bf == 1
						RotateLR(parent);
				}
				else // parent->_bf  == 2
				{
					if (cur->_bf == 1)
						// 左單旋
						RotateL(parent);
					else // cur->_bf == -1
						RotateRL(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				// 插入節點之前，樹已經不平衡瞭，或者bf出錯。需要檢查其他邏輯
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

插入整體邏輯：

  1. 如果還沒有元素是一課空樹，直接插入即可；如果有元素，按pair的first(key)和比較的節點比較結果為大說明為空的哪個位置在右邊，和比較的節點比較的結果小說明為空的哪個位置在左邊，如果相等說明已經有這個元素瞭，二叉搜索樹不支持冗餘返回一個pair類第一個成員為那個相同元素的map的迭代器和第二個成員為false的pair類迭代器；
  2. 不知道這個已經找到的位置在父節點的左邊還是右邊，需要判斷一下，然後插入元素；
  3. 插入元素的後那麼平衡因子將發生變化，為0說明這個父親節點左右平衡不會影響其他節點，為1或者-1需要向上調整，為2或者-2說明已經不平衡需要旋轉；

節點右子樹最長路徑-左子樹最長路徑，右邊插入節點就+，左邊插入節點就-；

3.1四種旋轉（左單旋、右單旋、左右雙旋、右左雙旋）

3.1.1左單旋

  • 調用函數是傳的參數是軸點
  • 要保留軸點的父親，以及調整三叉鏈
  • 調整後原來的孩子和父親（軸點）的平衡因子都置為0；
void RotateR(Node* parent)
	{
		//軸點的左，孩子節點
		Node* subL = parent->_left;
		//孩子節點的右
		Node* subLR = subL->_right;
		//我的右當你（軸點）的左
		parent->_left = subLR;
		//調整三叉鏈
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
		//你（軸點）做我的右
		subL->_right = parent;
		//調整三叉鏈
		Node* parentParent = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;
 
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			//軸點的父親新的孩子節點
			if (parentParent->_left == parent)
				parentParent->_left = subL;
			else
				parentParent->_right = subL;
 
			subL->_parent = parentParent;
		}
 
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

3.1.2右單旋

  • 調用函數是傳的參數是軸點
  • 要保留軸點的父親，以及調整三叉鏈
  • 調整後原來的孩子和父親（軸點）的平衡因子都置為0；
void RotateL(Node* parent)
	{
		//軸點的右，孩子節點
		Node* subR = parent->_right;
		//孩子節點的左
		Node* subRL = subR->_left;
		//我的左當你（軸點）的右
		parent->_right = subRL;
		//調整三叉鏈
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		//你（軸點）做我的左
		subR->_left = parent;
		Node* parentparent = parent->_parent;
 
		parent->_parent = subR;
		if (parent == _root)
		{
			if (parentparent->_left == parent)
				parentparent->_left = subR;
			else
				parentparent->_right = subR;
 
			subR->_parent = parentparent;
		}
		else
		{
			subR->_parent = nullptr;
			_root = subR;
		}
 
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
 
	}

 3.1.3左右雙旋

  • 調用左單旋是傳的參數是軸點1，右單旋傳的軸點2
  • 平衡因子分3種情況，依靠3個被改變節點中最後一個來判斷
void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
 
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
 
		// ...平衡因子調節還需要具體分析
		if (bf == -1)
		{
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

依靠3個被改變節點中最後一個來判斷

3.1.4右左雙旋 

  • 調用右單旋是傳的參數是軸點1，左單旋傳的軸點2
  • 平衡因子分3種情況，依靠3個被改變節點中最後一個來判斷
void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
 
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
 
		// 平衡因子更新
		if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

附：AVL的性能

AVL樹是一棵絕對平衡的二叉搜索樹，其要求每個節點的左右子樹高度差的絕對值都不超過1，這樣可以保證查詢時高效的時間復雜度，即log2(N)

但是如果要對AVL樹做一些結構修改的操作，性能非常低下，比如：

插入時要維護其絕對平衡，旋轉的次數比較多，更差的是在刪除時，有可能一直要讓旋轉持續到根的位置。因此：如果需要一種查詢高效且有序的數據結構，而且數據的個數為靜態的(即不會改變)，可以考慮AVL樹，但一個結構經常修改，就不太適合。

總結

  • 調用旋轉的實參是軸點
  • 左單旋：我的左當你的右，你（軸點）當我的左
  • 右單旋：我的右當你的左，你（軸點）當我的右

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