C語言植物大戰數據結構堆排序圖文示例
“大弦嘈嘈如急雨,小弦切切如私語”“嘈嘈切切錯雜彈,大珠小珠落玉盤”
TOP.堆排序前言
什麼是堆排序?假如給你下面的代碼讓你完善堆排序,你會怎麼寫?你會怎麼排?
void HeapSort(int* a, int n) { } int main() { int arr[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 }; int sz = sizeof(arr) / sizoef(arr[0]); HeapSort(arr, sz); return 0; }
堆排序就是利用堆這個數據結構,對一組數據進行排序。
所以說,堆排序整體分兩步完成。
第一步,建堆
第二步,進行排序
註意:以下代碼針對的是對一組 數據 排升序
一、向下調整堆排序
對的,向下調整方法,是最優秀的堆排序。
不是太想介紹那種向上調整拉胯的堆排序,我們經常用的是這種優秀的向下排序。
二者區別在於建堆的方法不同。一個是向下建堆O(N),一個是向上建堆O(N*logN)。
具體證明用到瞭高中 簡單的數列公式。
1.向下調整建堆
建堆的技巧
向下建堆也有兩種情況。
1.建大堆
2.建小堆
那麼到底建大堆還是小堆呢?
解釋:建堆在於你是想要排升序,還是排降序。假如建的大堆,因為堆頂的數是最大的,在我們對堆 向下調整排序時,這時候每次都需要把最大的交換到堆底。所以導致最後堆的順序是升序。
建大堆前
建大堆後
向下調整排序後
此時數組就有序瞭。
結論:實質是在數組上建堆。排升序建大堆,排降序建小堆。
建堆思路代碼
思路:
因為葉子結點本身就是一個大堆,所以從最後一個葉子結點的父親結點開始進行向下建堆。
這樣就能夠保證每次建的堆都是大堆。
註意:
1.註意循環結束條件,和if語句裡的邊界問題child + 1 < n
2.註意完全二叉樹父子關系公式
#include <stdio.h> //交換 void swap(int* x, int* y) { int t = 0; t = *x; *x = *y; *y = t; } //向下調整 void AdjustDown(int* a, int n, int root) { int parent = root; int child = parent * 2 + 1; while (child < n) { //每次調整都需要從左右兩邊選出孩子最大的那個 //假設坐孩子較大,選出左右孩子大的那個 if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]) { ++child; } //開始調整。 if (a[child] > a[parent]) { swap(&a[child], &a[parent]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } //不滿足就跳出,開始下次for循環調整。 else { break; } } } void HeapSort(int* a, int n) { //向下調整建堆 int i = 0; for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) { AdjustDown(a, n, i); } } int main() { int arr[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 }; int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); HeapSort(arr, sz); return 0; }
2.向下調整排序
調整思路
1.從堆底依次 和 堆頂的數據進行交換。
2.對交換後的 堆頂的值 進行向下調整。向下調整時請無視交換到堆底那個最大的值。
3.繼續循環第一步和第二步,直到到正數第二個數結束。
排序整體代碼
void swap(int* x, int* y) { int t = 0; t = *x; *x = *y; *y = t; } void AdjustDown(int* a, int n, int root) { int parent = root; int child = parent * 2 + 1; while (child < n) { //每次調整都需要從左右兩邊選出孩子最大的那個 //假設坐孩子較大,選出左右孩子大的那個 if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]) { ++child; } //開始調整。 if (a[child] > a[parent]) { swap(&a[child], &a[parent]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } //不滿足就跳出,開始下次for循環調整。 else { break; } } } void HeapSort(int* a, int n) { //向下調整建堆 int i = 0; for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) { AdjustDown(a, n, i); } //向下調整排序 int end = 0; for (end = n-1; end > 0; end--) { swap(&a[0], &a[end]); //向下調整時無視最大的那個值,所以end是n-1。 AdjustDown(a, end, 0); } } int main() { int arr[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 }; int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); HeapSort(arr, sz); return 0; }
3.時間復雜度(難點)
向下建堆O(N)
//向下調整建堆 int i = 0; for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) { AdjustDown(a, n, i); }
很多人的誤區在於他的時間復雜度是N*Log2N。這是錯誤的。
時間復雜度的計算是看思想,而不是看循環猜測。
當是滿二叉樹,在最壞的情況下,除瞭最後一層,上面所有層都需要進行向下調整。
最壞情況下的調整次數 = 每層數據個數 * 向下調整次數
第一層向下調整次數是h-1,節點個數是21-1
第二層向下調整次數是h-2, 節點個數是22-1
第h-1層向下調整次數是1,節點個數是2h-1-1
所以總的調整次數為n:n = 20*(h-1) + 21 *(h-2)+… + 2h-1-1 *(1)
根據高中錯位相減得到 n = 1−h+21+22+…+2h−2+2h−1
由等比數列前n項和得到 n = 2h−h−1
由二叉樹性質N=2h−1和 h = log2(N+1) 得到 n=N−log2(N+1)
大O漸進表示法為n= O(N)
向下調整(N*LogN)
需要向下調整n-1次。每次需要調整的高度為LogN,N為節點的個數,因為節點個數每次少一個。
所以n-1次調整總次數 = log2+log3+…+log(n-1)+log(n)≈log(n!)
由數學知識得log(n!)和nlog(n)是同階函數。
所以向下調整排序時間復雜度為N*LogN
所以堆排序時間復雜度為:N + N*LogN
大O漸進表示法為:O(N*LogN)
總結:堆排序時間復雜度 O(N*LogN)
二、向上調整堆排序
向上調整排序和向下調整排序的唯一不同在於建堆的不同,導致二者的建堆的時間復雜度略微不同。
1.向上調整建堆
向上調整建堆時間復雜度為N*LogN.具體原因還需要經過殘酷的數學計算。孩子不會啊。但是經過網上查閱資料我又找到瞭計算方法。如圖。
根據二叉樹的性質:h = Log2(N+1)
可以將T(h) = 2h * (h-2) + 2換為:
所以總體來說就是向上調整的建堆時間復雜度為O(N * LogN).
2.建堆代碼
思路:從第二個元素開始,隻關註前兩個元素建堆,然後再依次增加元素建堆,使它一直為堆。
向上調整建堆雖然時間復雜度略高,但是代碼相對於向下調整簡單一點點。
void AdjustUp(int* a, int child) { //先把父親節點表示出來。 int parent = (child - 1) / 2; while (child > 0) { //比較孩子和父親,開始向上調整。 if (a[child] > a[parent]) { swap(&a[child], &a[parent]); child = parent; parent = (child - 1) / 2; } else { break; } } }
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